La pregunta es sobre la representación del espinor descompuesta en subgrupos. Es una técnica común en la teoría de cuerdas cuando se compactan e ignoran partes de las dimensiones, y solo nos interesa la subsimetría restante. Lo estoy aprendiendo del apéndice B en el volumen II del gran libro de Polchinski. Para una descomposición particular, (B.1.43), los espinores de Weyl se descomponen como la fórmula (B.1.44), y , dónde y son las representaciones de Weyl del grupo de Lorentz con quiralidad +1 y -1 respectivamente.
concretamente en el caso con descomposiciones , que aparece en (B.6.3). Mi pregunta es la contradicción con representaciones mínimas . Comprobando las condiciones de Majorana y Weyl, los espinores mínimos para d=6 y d=4 tienen 8 y 4 componentes respectivamente. (Ref. tabla B.1 Polchinski) Entonces ¿Cómo puedes encontrar representación para ?
Además, estoy muy interesado en la prueba de (B.1.44) bajo (B.1.43)? ¿Cómo se demuestra comparando los valores propios de como afirma Polchinski?
Está confundido acerca de la forma en que se cuentan las dimensiones de las representaciones. En general, son dimensiones complejas , no reales.
Más precisamente, las representaciones de los grupos de Lie son de tres tipos: las complejas, las reales y las pseudoreales. Los complejos no son equivalentes a sus complejos conjugados. Los reales y pseudoreales son equivalentes a sus conjugados complejos y los reales son tales que la equivalencia puede usarse para exigir que las coordenadas de las representaciones sean reales. Las representaciones pseudoreales o "cuaterniónicas" no se pueden reducir de esta manera, pero siguen siendo equivalentes a sus complejos conjugados esencialmente porque y pueden estar continuamente conectados entre sí a través de la esfera de la unidad, puros cuaterniones imaginarios.
es localmente isomorfo a por lo que tiene dos representaciones complejas bidimensionales (pseudoreales) no equivalentes. Uno de ellos es doblete bajo el primero. e invariante bajo el segundo transformaciones, el otro es un doblete debajo del otro .
Similarmente, es una especie de grupo de matrices con entradas cuaterniónicas cuya "parte real del determinante" es igual a uno. Este grupo puede escribirse en términos de matrices complejas, por lo que es un subgrupo de . Resulta que tiene representaciones fundamentales de 4 dimensiones (complejas, bueno, pseudoreales). Bueno, tiene dos representaciones fundamentales pseudoreales no equivalentes y no son conjugados complejos entre sí. En cambio, cada uno de ellos es equivalente al complejo conjugado de sí mismo.
Entonces, solo para representaciones reales, el conteo de las dimensiones sigue lo que crees. Las representaciones complejas que no admiten ninguna "restricción que haga reales las coordenadas" naturales (sin duplicar) son complejas y por dimensión entendemos el número de coordenadas complejas (sin ninguna multiplicación por dos). Representaciones con las coordenadas cuaterniónicas se cuentan como representaciones complejas -dimensionales. Esta es la forma unificada de tratar la representación que conduce a un conjunto de reglas más uniformes y regulares para determinar cómo se comportan las cosas. Esta es la forma más natural porque se basa en números complejos y los números complejos son más fundamentales que los números reales o cuaterniones. (Teorema fundamental del álgebra y otras razones.) Las representaciones reales y cuaterniónicas se clasifican como representaciones complejas con la libertad especial de "conjugar" coordenadas, es decir, con algún "mapa de estructura antilineal" especial que conmuta con la acción del grupo . Para repeticiones reales, , por los pseudoreales, y puede interpretarse literalmente como la multiplicación por el cuaternión del lado correcto.
Alrededor de B.1.43 y B.1.44, Joe simplemente le dice que diagonalice las representaciones en ambos lados y enumere los posibles valores propios de todos los operadores - mirar la base de la representación que contiene todos los estados propios compartidos de todos los operadores. Todos estos valores propios de son - la colección se conoce como el peso. Si el número de la negativa valores propios es par o impar decide sobre la quiralidad del espinor.
Entonces, el lado izquierdo de B.1.44 son las colecciones de pesos (valores propios bajo operadores) que son cada uno y el número de valores propios negativos es par (a) o impar (b). Pueden obtenerse como productos tensoriales de colecciones de conjuntos más pequeños para los cuales las quiralidades son pares para el grupo de la izquierda y pares para el grupo de la derecha o impares para el grupo de la izquierda e impares para el grupo de la derecha (a), o par-impar o impar. -incluso (b). Esta es la razón por la que la representación irreducible del grupo más grande se descompone en la suma directa de dos representantes irreducibles de los grupos de factores y cada uno de los dos términos de la suma directa es un producto tensorial de dos espinores de Weyl.