Dejar sea un campo escalar y luego veo la siguiente expresión (1) para el cuadrado de la versión normal ordenada de .
Sería genial si alguien puede ayudar a derivar la expresión anterior, puede ser desde cero, y sin externalizar el teorema de Wick, y puede ayudar a conectar por qué lo anterior está relacionado (¿igual?) con el teorema de Wick?
¿Lo anterior no se conoce también como OPE (Operator Product Expansion)? En caso afirmativo, ¿hay alguna diferencia entre OPE y el teorema de Wick? ¿Existe una forma sistemática de derivar tales OPE?
¿Alguien puede ayudar a extender esto a los fermiones?
Como menciona Lubos Motl en un comentario, para todos los propósitos prácticos, el eq buscado de OP. (1) se demuestra mediante el teorema de Wick.
Es interesante tratar de generalizar el teorema de Wick y tratar de minimizar el número de suposiciones que se incluyen en él. Aquí esbozaremos un posible enfoque.
I) Supongamos que una familia de operadores vive en un (super)operador álgebra
con (súper) conmutador , y
con centro .
Aquí
El índice se ejecuta sobre un conjunto de índices (podría ser continuo), y
El índice contiene información, como, por ejemplo, la posición , instante de tiempo , etiqueta de aniquilación/creación, tipo de campo, etc., del operador .
II) Suponga que
III) Suponga que se dan dos recetas ordenantes, digamos y . Aquí y podría en principio denotar dos prescripciones de orden cualquiera, por ejemplo, orden de tiempo, orden normal, orden radial, orden de Weyl , etc. Esto significa que el conjunto de índices está dotado de dos estrictos órdenes totales , digamos, y , respectivamente, tal que
Él el símbolo es (graduado) multilineal wrt. supernúmeros _
es (graduada) simétrica , donde es una permutación de elementos, y es un factor de signo Koszul.
si .
En el caso especial en que algunos de los son iguales (wrt. el orden <), entonces uno debe simetrizar en sentido apropiado (graduado) sobre los subconjuntos correspondientes. Por ejemplo,
[Las condiciones similares 1-4 deben cumplirse para el segundo pedido .]
IV) Entonces se sigue de los supuestos I-III que las contracciones (generalizadas)
V) Supongamos además que las contracciones no dependas de los operadores , es decir
VI) Ahora es un ejercicio sencillo establecer el Teorema de Wick correspondiente
VII) Supongamos ahora que los operadores son bosónicos por simplicidad. Una consecuencia particular del teorema de Wick anidado es la siguiente versión
de la ecuación buscada de OP. (1). Finalmente, mencionemos que el Teorema de Wick, el orden radial, OPE , etc., también se discuten en esta y esta publicación de Phys.SE.
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Notas al pie:
Ejemplo: El orden Weyl/simétrico satisface
La convención de signos de Koszul produce un signo menos cada vez que se permutan dos objetos impares de Grassmann. en esta respuesta denota la paridad de Grassmann de .
Siendo igual wrt. un orden es en general una relación de equivalencia, y a menudo es una condición más débil que ser iguales como elementos de .
El teorema de Wick anidado (entre el orden radial y el orden normal) se establece brevemente en la ecuación. (2.2.10) en la pág. 39 en J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1. Tenga en cuenta que el orden radial a menudo solo se escribe implícitamente en los textos CFT. Por cierto, en esta publicación de Phys.SE se analiza un efecto secundario/peculiaridad de los símbolos de orden anidados.
jonathan
minero ciego