Ordenación temporal frente a ordenación normal y la función/propagador de dos puntos

No entiendo cómo calcular esta función generalizada de dos puntos o propagador, utilizada en algunos temas avanzados en la teoría cuántica de campos, un producto ordenado normal (indicado entre :: ) se resta del producto habitual pedido por tiempo (denotado T ):

⟨ X m ( σ , τ ) X v ( σ ′ , τ ′ ) ⟩   =   T ( X m ( σ , τ ) X v ( σ ′ , τ ′ ) )   −   : X m ( σ , τ ) X v ( σ ′ , τ ′ ) :

Mi pregunta es ¿se puede derivar el rhs de este propagador o explicar y motivar en palabras simples el significado de la resta del producto ordenado por tiempo?

Respuestas (1)

Si los operadores X i puede escribirse como una suma de una aniquilación y una parte de creación 1

(1) X i   =   A i + A i † , i   ∈   I ,

(2) A i | Ω ⟩   =   0 , ⟨ Ω | A i †   =   0 , i   ∈   I ,

dónde

(3) [ A i ( t ) , A j ( t ′ ) ]   =   0 , [ A i † ( t ) , A j † ( t ′ ) ]   =   0 , i , j   ∈   I ,

y

(4) [ A i ( t ) , A j † ( t ′ ) ]   =   ( C   norte tu metro b mi r ) × 1 , i , j   ∈   I ,

es decir, proporcional al operador de identidad 1 , entonces se puede probar que

(5) T ( X i ( t ) X j ( t ′ ) )   −   : X i ( t ) X j ( t ′ ) :   =   ⟨ Ω | T ( X i ( t ) X j ( t ′ ) ) | Ω ⟩   1 .

Prueba de la ec. (5): Por un lado, la ordenación del tiempo T Se define como

(6) T ( X i ( t ) X j ( t ′ ) )   =   Θ ( t − t ′ ) X i ( t ) X j ( t ′ ) + Θ ( t ′ − t ) X j ( t ′ ) X i ( t )   =   X i ( t ) X j ( t ′ ) − Θ ( t ′ − t ) [ X i ( t ) , X j ( t ′ ) ]   = ( 1 ) + ( 3 )   X i ( t ) X j ( t ′ ) − Θ ( t ′ − t ) ( [ A i ( t ) , A j † ( t ′ ) ] + [ A i † ( t ) , A j ( t ′ ) ] ) .

Por otro lado, el orden normal :: mueve por definición la parte de creación a la izquierda de la parte de aniquilación, de modo que

(7) : X i ( t ) X j ( t ′ ) :   = ( 1 )   X i ( t ) X j ( t ′ )   −   [ A i ( t ) , A j † ( t ′ ) ] ,

(8) ⟨ Ω | : X i ( t ) X j ( t ′ ) : | Ω ⟩   = ( 1 ) + ( 2 )   0.

La diferencia de las ecs. (6) y (7) es la izquierda. de la ec. (5):

(9) T ( X i ( t ) X j ( t ′ ) )   −   : X i ( t ) X j ( t ′ ) :   = ( 6 ) + ( 7 ) Θ ( t − t ′ ) [ A i ( t ) , A j † ( t ′ ) ]   +   Θ ( t ′ − t ) [ A j ( t ′ ) , A i † ( t ) ] ,

que es proporcional al operador de identidad 1 por la suposición (4). Ahora sándwich eq. (9) entre el sujetador ⟨ Ω | y el ket | Ω ⟩ . Desde el rhs. de la ec. (9) es proporcional al operador de identidad 1 , los rhs sin emparedar. debe ser igual a la rhs intercalada. veces el operador de identidad 1 . De ahí también los lhs no intercalados. de la ec. (9) también debe ser igual a los lhs intercalados. veces el operador de identidad 1 . Esto produce la ec. (5). ◻

Un argumento similar aplicado a la ec. (7) da como resultado que

(10) X i ( t ) X j ( t ′ )   −   : X i ( t ) X j ( t ′ ) :   =   ⟨ Ω | X i ( t ) X j ( t ′ ) | Ω ⟩   1

es decir, una versión de la ec. (5) sin el orden del tiempo T .

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1 los operadores A i y A i † no es necesario que sean conjugados hermitianos en lo que sigue. Suponemos implícitamente que el vacío | Ω ⟩ se normaliza: ⟨ Ω | Ω ⟩ = 1 .

Muchas gracias @Qmechanic, esta prueba clara es exactamente lo que necesitaba. Lo único que me queda por hacer ahora es verificar que las condiciones previas sean válidas en mi caso específico.
@Qmechanic, para los operadores A y B , es la ecuación ⟨ 0 | A + B | 0 ⟩ = ⟨ 0 | A | 0 ⟩ + ⟨ 0 | B | 0 ⟩ ¿satisfecho? Si está satisfecho, entonces podemos intercalar el lhs. de la ec. (1) y la ecuación simplemente se convierte en ⟨ 0 | : X i ( t ) X j ( t ′ ) : | 0 ⟩ = 0 . Pero tal ecuación a veces falla.
Actualicé la respuesta. Parece que está hablando de situaciones en las que uno usa definiciones de vacío de Fock y orden normal que no son compatibles/ajustadas correctamente entre sí.
Ordenación temporal frente a ordenación normal y la función/propagador de dos puntos
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