¡Hay demasiados teoremas de Wick!

Varios comentarios a la publicación (v3):

1. Uno puede especular que los operadores aparentemente desordenados en la práctica siempre están ordenados wrt. algún orden.

2. -

3. Mientras los campos$\phi_i=\phi_i^{(+)}+\phi_i^{(-)}$son lineales en los operadores de creación y aniquilación, esto no debería ser un problema.

4. -

5. El teorema de Isserlis está relacionado con la formulación integral del camino del teorema de Wick, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

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La generalización más importante de la formulación del operador del teorema de Wick (en comparación con mi respuesta Phys.SE ) es considerar las contracciones que no pertenecen al centro del álgebra. Esto se usa a menudo en CFT, consulte, por ejemplo, Ref. 1.

Referencias:

1. J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992); ec. (3.1.35).

Quería ampliar el teorema de Wick desde el punto de vista de 5. Esto es desde el punto de vista de las integrales de trayectoria libre euclidianas. Creo que esta perspectiva es muy esclarecedora, pero ciertos puntos no se enfatizan en la literatura. La discusión es más sencilla cuando se piensa en un análogo de dimensión finita. Aquí tomamos nuestro espacio de campos como el espacio de dimensión finita$V=\mathbb{R}^n$. Podemos poner en este espacio las coordenadas lineales$\{\phi^i|i\in\{1,\dots,n\}\}$. Para aclarar la intuición física, se debe pensar en el índice$i$como una posición en un espacio-tiempo discreto con$n$puntos.

En este contexto, una teoría libre está determinada por una función de correlación (no normalizada) obtenida a través de una integral de trayectoria gaussiana, que en este caso es solo una integral de dimensión finita. Los observables están determinados por funciones polinómicas.$F(\phi)$y las funciones de correlación son de la forma

$$\langle F(\phi)\rangle=\int\text{d}^n\phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{ij}\phi^j}F(\phi),$$ para un simétrico y definido positivo$A_{ij}$.

El teorema de Wick en la versión 5 se puede probar fácilmente siguiendo la discusión en https://arxiv.org/abs/1202.1554 . Esto se obtiene observando que la integral de una derivada total se anula ya que la exponencial decae en el límite debido a la definición positiva de$A_{ij}$. De hecho, por la regla del producto

$$0=\int\text{d}^n\phi\,\frac{\partial}{\partial\phi^i}\left(e^{-\frac{1}{2}\phi^iA_{jk}\phi^j}\phi^{r_1}\cdots\phi{r_s}\right)=-A_{ij}\langle\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\delta^{r_l}_i\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle,$$ donde el$\widehat{\phi^{r_l}}$significa que nos saltamos este término. denotar por$A^{ij}$la matriz inversa$A^{ij}A_{jk}=\delta^i_k$, podemos resolver esta ecuación para $$\langle \phi^i\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{t=1}^sA^{ir_l}\langle \phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ ¡Este es el teorema de Wick! Dice que para calcular la función de correlación solo necesitamos considerar todas las contracciones posibles de$\phi^i$con todos los demás términos, cada contracción eliminando un propagador$A^{ir_l}=\langle \phi^i\phi^{r_l}\rangle$. Entonces una simple inducción muestra que $$\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\sum_{P\in\text{Pair}(s)}\prod_{\{a,b\}\in P}\langle\phi^a\phi^b\rangle$$

Ahora, los otros teoremas de Wick se pueden obtener a partir de este de la siguiente manera. Primero, necesitamos definir la noción de ordenación normal en este contexto. Esta definición es particularmente física. Dejar$F(\phi)$sea ​​un monomio en$\phi$como$F(\phi)=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Definimos el orden normal$:F(\phi):$ser el polinomio tal que todas las correlaciones$\langle:F(\phi):G(\phi)\rangle$para un polinomio$G(\phi)$se obtiene considerando todas las contracciones de Wick que contribuyen a$\langle F(\phi)G(\phi)\rangle$excepto aquellos con contracciones de dos campos dentro del monomio$F(\phi)$.

De esta definición no está claro que tal polinomio exista o, si existe, si es único. La unicidad debería ser alguna consecuencia de un teorema que diga que un polinomio está completamente determinado por momentos. En cualquier caso, para probar la existencia se puede dar una construcción explícita. La unicidad es más o menos clara a partir de ella.

Para el orden normal de un monomio bilineal, la construcción es clara a partir del teorema de Wick

$$\langle \phi^i\phi^j\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle=\langle\phi^i\phi^j\rangle\langle \phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle+\sum_{t=1}^s\langle\phi^i\phi^{r_l}\rangle\langle \phi^j\phi^{r_1}\cdots\widehat{\phi^{r_l}}\cdots\phi^{r_s}\rangle.$$ La correlación $$\langle:\phi^i\phi^j:\phi^{r_1}\cdots\phi^{r_s}\rangle$$ sólo debe constar del último término. Entonces está claro qué hacer, definir $$:\phi^i\phi^j:=\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Uno puede repetir esto para monomios de orden superior, pero no lo haré aquí ya que los cálculos se complican un poco.

En general, tenemos el teorema de Wick

$$:\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}:=\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}-\sum_{\{a,b\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:-\sum_{\{a,b\},\{c,d\}}\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:-\cdots$$ donde la primera suma es sobre 1 contracciones, el segundo término es sobre 2 contracciones, y así sucesivamente. Aunque la combinatoria de la prueba puede ser un poco complicada, el panorama general es bastante simple. Los términos del formulario$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\phi^{i_u}:$que aparecen en la primera suma son los que cancelan todas las contribuciones a las funciones de correlación que contienen una sola contracción de Wick dentro de$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Del mismo modo, los términos de la forma$\langle\phi^{i_a}\phi^{i_b}\rangle\langle\phi^{i_c}\phi^{i_d}\rangle:\phi^{i_1}\cdots\widehat{\phi^{i_a}}\cdots\widehat{\phi^{i_b}}\cdots\widehat{\phi^{i_c}}\cdots\widehat{\phi^{i_d}}\cdots\phi^{i_u}:$cancelar las funciones de correlación que contienen solo dos contracciones de Wick dentro$\phi^{i_1}\cdots\phi^{i_u}$. Esta es la forma del teorema de Wick que aparece en la versión 4. Proporciona una fórmula inductiva explícita para la ordenación normal.

Permítanme comentar ahora sobre la versión 3. En nuestra configuración, hemos definido el ordenamiento normal a través de su comportamiento en las funciones de correlación. Estos se calculan mediante integrales de trayectoria, que ordenan automáticamente el tiempo. Esto significa que en el formalismo del operador estos corresponden a elementos matriciales de un operador ordenado en el tiempo$\mathcal{T}\hat{\phi}^{i_1}\cdots\hat{\phi}^{i_u}$. Así que la versión 4 del teorema de Wick corresponde a la versión 3, siendo la primera en el formalismo de integral de caminos mientras que la segunda en el formalismo de operadores.

Para pasar de la versión 4 a la versión 5, solo hay que tener en cuenta que ⟨:𝐹(𝜙):⟩=0. De hecho, para obtener una respuesta distinta de cero, se necesita agregar al menos un monomio de grado igual al de 𝐹(𝜙). Solo entonces uno comenzará a tener contracciones que no emparejan dos elementos dentro de 𝐹(𝜙). Por cierto, esto también aclara la relación con la declaración de creación/aniquilación, ya que la ordenación normal ahí precisamente aniquila los valores de expectativa de vacío colocando operadores de aniquilación a la derecha. Más precisamente, se puede ver que el orden normal de creación/aniquilación para un producto de dos campos (operadores lineales en creación y aniquilación) también está dado por

$$:\phi^i\phi^j:=\mathcal{T}\phi^i\phi^j-\langle\phi^i\phi^j\rangle.$$ Esta ordenación normal también satisface la relación de recurrencia impuesta por el teorema de Wick para obtener una ordenación normal de monomios de orden superior en los campos. Concluimos que ambos ordenamientos normales coinciden en bilineales y satisfacen la misma relación de recurrencia. Entonces deben coincidir siempre.

Los OPE también pueden entenderse desde este punto de vista del formalismo de la integral de caminos. Sin embargo, la idea principal del caso gratuito es la siguiente. Para calcular la expansión del producto de operadores de un grupo de operadores, nos gustaría expresarlos como una serie de operadores bien definidos en un solo punto en el espacio-tiempo ponderados por un coeficiente que depende de las posiciones de los operadores originales que pueden divergir a medida que estos las posiciones se acercan unas a otras. Estar bien definido solo significa que sus funciones de correlación con otros operadores lejanos son todas convergentes. Esto se hace más fácilmente escribiendo el producto de los operadores usando el teorema de Wick. Esto se debe a que las partes divergentes aparecen dentro de las funciones de correlación y, por lo tanto, son coeficientes numéricos. Todos los demás operadores aparecen dentro de la ordenación normal y, por lo tanto, cuando se insertan en funciones de correlación, nunca se contraen entre sí. Por lo tanto, no hay divergencias cuando se calculan funciones de correlación con operadores lejanos.

La discusión anterior se aclara con un ejemplo. Considere la expansión del producto del operador de$\phi(0)\phi(x)$en una teoría de campo escalar libre. Se podría intentar escribir esto con una serie de operadores en$0$por Taylor expandiendo

$$\phi(0)\phi(x)=\phi(0)^2+x\phi(0)\partial\phi(0)+\frac{1}{2}x^2\phi(0)\partial^2\phi(0)+\cdots.$$ Sin embargo, en esta serie todos los operadores están mal definidos. Por ejemplo, $$\langle\phi(0)^2\phi(x)\phi(y)\rangle=\langle\phi(0)^2\rangle\langle\phi(x)\phi(y)\rangle+2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle$$ y este término diverge, aun cuando$x$y$y$están lejos unos de otros y$0$. Por otro lado, podemos expandir Taylor después de usar el teorema de Wick $$\phi(0)\phi(x)=:\phi(0)\phi(x):+\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle=\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle+:\phi(0)^2:+x:\phi(0)\partial\phi(0):+\frac{1}{2}x^2:\phi(0)\partial^2\phi(0):+\cdots.$$ Esto es precisamente en la forma OPE. El primer término es una función numérica que diverge como$x\rightarrow 0$multiplicado por un operador bien definido, el operador identidad. El resto de los términos también son operadores bien definidos. por ejemplo ahora $$\langle:\phi(0)^2:\phi(x)\phi(y)\rangle=2\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\phi(0)\phi(y)\rangle,$$ que está bien definido en la medida en que$x$,$y$, y$0$están separados unos de otros. En particular, vemos que la parte divergente de la OPE es $$\phi(0)\phi(x)\sim\langle{\phi(0)\phi(x)}\rangle,$$ que es muy utilizado en la teoría de campo libre.

Este procedimiento se puede expandir al caso interactivo usando la teoría de perturbaciones. Para mayor precisión, permítanme explicar esto usando$\phi^4$teoría. En la teoría de perturbaciones tenemos

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle=\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi+\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}\phi(0)\phi(x)\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\int\mathcal{D}\phi e^{-\frac{1}{2\hbar}\int\text{d}^D y\phi(-\Delta)\phi}\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n}{4!^n\hbar^n}\int\text{d}^Dy_1\cdots\text{d}^Dy_n\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y_1)^4\cdots\phi(y_n)^4\cdots\rangle_G$$ el subíndice$G$indica que la última correlación se toma en la teoría libre. En consecuencia, podemos aplicar el teorema de Wick en cada uno de estos términos individualmente.

Para el$n=0$término, tenemos las contribuciones a la expansión del producto del operador

$$\langle\phi(0)\phi(x)\cdots\rangle_G=\langle:\phi(0)\phi(x):\cdots\rangle_G+\langle\phi(0)\phi(x)\rangle\langle\cdots\rangle_G$$ Para el primer término, podemos hacer una expansión de Taylor alrededor$x=0$, tal como lo hicimos en el caso gratuito. Esto produce el$\lambda^0$contribución a la OPE. En términos de$\hbar$, el primer término contribuye en orden$\hbar^0$mientras que el segundo a la orden$\hbar$. Sólo el segundo tiene términos divergentes como$x\rightarrow 0$. Además, podemos usar los diagramas de Feynman para realizar un seguimiento de estos . Como vemos, en estos diagramas todos los lados externos se ordenan automáticamente de forma normal, de modo que se entiende que en funciones de correlación completa no deben contraerse entre sí. En particular, podemos expandirnos en una serie de Taylor cuando estos lados están cerca de 0.

Ahora, consideremos la expansión a través del teorema de orden de Wick$\lambda$término

$$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4\cdots\rangle_G$$ . El primer término no tiene contracciones. $$\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\langle:\phi(0)\phi(x)\phi(y)^4:\cdots\rangle_G.$$ Podemos representar esto con el siguiente diagrama de Feynman . Como antes, todas las patas externas están ordenadas normalmente. También vemos que las patas externas que vienen del vértice no llevan propagadores. Este vértice contribuye en orden$\hbar^{-1}$y no tiene divergencias como$x\rightarrow 0$.

Hay 4 términos que provienen de tener 1 contracción, que están representados por los diagramas de Feynman Todos estos contribuyen en el orden$\hbar^0$y sólo el primero diverge como$x\rightarrow 0$. Sin embargo, esta divergencia ya está capturada en cierto modo a partir de un término en el orden$\lambda^0$. De hecho, podemos resumir todos los términos con esta divergencia

$$\langle\phi(0)\phi(x)\rangle_G\langle:e^{\frac{\lambda}{4!\hbar}\int\text{d}^Dy\phi^4}:\cdots\rangle_G$$

Los términos con dos contracciones son del de Todos estos contribuyen en el orden$\hbar$y solo el primero (posiblemente) diverge como$x\rightarrow 0$(bueno, el segundo también diverge pero ya hemos discutido este tipo de términos arriba). Este término es realmente interesante y se explora a fondo en https://pirsa.org/18030064 . Se muestra que sí diverge en$D=4$, y de hecho, su divergencia es de la forma

$$\frac{\lambda}{2\hbar}\int\text{d}^Dy\langle\phi(0)\phi(y)\rangle_G\langle\phi(x)\phi(y)\rangle_G:\phi(0)^2:,$$ al expandir las patas externas alrededor$0$.

Finalmente, tenemos los términos con 3 contracciones, todos contribuyen en orden$\hbar^2$pero sólo el segundo tiene una nueva divergencia. Esta divergencia multiplica el operador de identidad.

En resumen, para los OPE en el caso de interacción, resumimos los diagramas del tipo anterior. Los diagramas desconectados no tienen divergencias como$x\rightarrow 0$(si no hay un camino que conecte el$\phi(0)$y$\phi(x)$vértices), o sus divergencias ya aparecen en un diagrama conexo de orden inferior en la teoría de perturbaciones. Como comentario final, todos estos diagramas también sufren de divergencias de bucle que deben volver a normalizarse como es habitual en la teoría cuántica de campos perturbativa.

Daré una respuesta para explicar por qué hay demasiados teoremas de Wick en la física de la materia condensada o en la física de muchos cuerpos.

En realidad, la importancia del teorema de Wick está íntimamente relacionada con el cálculo de la función de Green. Las técnicas de función de Green en la física de la materia condensada o en la física de muchos cuerpos generalmente se basan en la expansión de la función de Green en cuestión (generalmente contiene términos cuárticos en hamiltoniano) en una serie infinita de funciones de Green superiores para un sistema soluble que no interactúa y una contracción posterior en productos de la función de Green de una partícula. Esta descomposición se simplifica en gran medida mediante el uso de sugerentes representaciones esquemáticas. El fundamento riguroso de este procedimiento se conoce como teorema de Wick.

• el primer encuentro

Primero nos encontramos con el teorema de Wick para formular la expansión de perturbación de muchos cuerpos de la función de Green de temperatura cero en la que el problema puede describirse mediante hamiltoniano:

$$H=H_0+H_i$$ donde $H_i$es la interacción compleja de muchos cuerpos.

• el segundo encuentro

Nos volveremos a encontrar con el teorema de Wick cuando realicemos la expansión de muchos cuerpos de la función de Green de temperatura finita en la que el problema también puede ser descrito por hamiltoniano.$H=H_0+H_i$. La gran diferencia en comparación con la función de Green de temperatura cero es que el sistema ya no está en un estado fundamental en lugar de un estado mixto por la matriz de densidad.

$$\rho = \dfrac{e^{-\beta H}}{Tr[e^{-\beta H}]}.$$ Se puede ver que la matriz de densidad de muchos cuerpos en equilibrio también contiene interacciones de muchos cuerpos. Para formular la expansión simultánea tanto en la matriz de densidad como en el operador de evolución temporal: $$U(t)=e^{-i H t/\hbar}$$ La estrategia de Matsubara: reemplazar $\tau=it$y tratar $\tau$como un número real. Como resultado de este reemplazo, se hace posible la expansión de perturbaciones de muchos cuerpos.

• el tercer encuentro

Formalismo de Keldysh: adecuado para la investigación del problema de muchos cuerpos sin equilibrio. (Aquí, el teorema de Wick es muy parecido al de temperatura cero).

• $\cdots \cdots$

Los siguientes enlaces son la literatura recomendada para probar el teorema de Wick y discutir las interrelaciones entre las diferentes versiones del teorema de Wick.

1. Teorema de Wick para estados iniciales generales ;

2. Teoría de la perturbación de muchos cuerpos en equilibrio y en no equilibrio ;