Orden normal de orden normal

Question

Orden normal de orden normal

Física
operadores
teorema de la mecha
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

Mapo

En el primer volumen de Polchinski página 39 podemos leer una fórmula compacta para realizar el orden normal para campos bosónicos

\begin{matrix} (1) & : F : = \underset{:= O}{\underset{⏟}{Exp {\frac{α^{'}}{4} \int d^{2} z d^{2} w registro | z - w |^{2} \frac{d}{d φ (z, \bar{z})} \frac{d}{d φ (w, \bar{z} w)}}}} F, \end{matrix}

$:\cal F:~=~\underbrace{\exp\left\{\frac{α'}{4}∫\mathrm{d}^2z\mathrm{d}^2w\log|z-w|^2\frac{δ}{δφ(z,\bar z)}\frac{δ}{δφ(w,\bar zw)} \right\}}_{:=\mathcal{O}}\cal F, \tag{1}$

Lo que no entiendo es que me gustaría tener (teniendo en cuenta la definición que implica $a$ y $a^†$

\begin{matrix} (2) & :: F :: = : F : \end{matrix}

$::\cal F::~=~:\cal F:\tag{2}$ pero con esta formula

\begin{matrix} (3) & O^{2} F \neq O F . \end{matrix}

$\cal O^2\cal F~≠~\cal O \cal F.\tag{3}$

EJEMPLO:

\begin{matrix} (4) & : φ (z) φ (w) : = φ (z) φ (w) - \frac{α^{'}}{2} registro | z - w |^{2} \end{matrix}

$:φ(z)φ(w):~=~φ(z)φ(w)-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2\tag{4}$ pero

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} :: φ (z) φ (w) :: = & : φ (z) φ (w) : - \frac{α^{'}}{2} registro | z - w |^{2} \\ = & φ (z) φ (w) - α^{'} registro | z - w |^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} ::φ(z)φ(w)::~=~&:φ(z)φ(w):-\frac{α'}{2}\log|z-w|^2\cr ~=~&φ(z)φ(w)-α'\log|z-w|^2.\end{align}\tag{5}$

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Orden normal de orden normal

qmecanico · Answer 1

Breve explicación: la ecuación de Polchinski. (1) no es una fórmula que no transforme un orden normal en un orden normal: la expresión ${\cal F}$ en el lado derecho de la ec. (1) se supone implícitamente que está ordenado radialmente. De hecho, la ec. (1) es un teorema de Wick para cambiar el orden radial al orden normal, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Explicación más larga: cuando se trata de operadores no conmutativos, digamos $\hat{X}$ y $\hat{P}$ , la "función de los operadores" $f(\hat{X},\hat{P})$ no tiene sentido a menos que se especifique una prescripción de ordenación del operador (como, por ejemplo, ordenación radial, ordenación por tiempo, ordenación Wick/normal, ordenación Weyl/simétrica, etc.). Una forma más rigurosa es introducir un mapa de correspondencia
$\begin{matrix} (A) & \begin{matrix} Símbolos/Funciones \\ ↕ \\ Operadores \end{matrix} \end{matrix}$ $\begin{array}{c} \text{Symbols/Functions}\cr\cr \updownarrow\cr\cr\text{Operators}\end{array}\tag{A}$ (Por ejemplo, el mapa de correspondencia de los símbolos de Weyl a los operadores se explica en esta publicación de Phys.SE). Para definir un operador $\hat{\cal O}$ en los operadores, a menudo se da el operador correspondiente ${\cal O}$ en símbolos/funciones, es decir, $\begin{matrix} (B) & \begin{array}{ccc} Símbolos/Facts ordenados radialmente & \overset{O}{⟶} & Símbolos de orden normal/Fcts \\ ↕ & ↕ \\ Operadores de orden radial & \overset{\hat{O}}{⟶} & Operadores de orden normal \end{array} \end{matrix}$ $\begin{array}{ccc} \text{Radial-Ordered Symbols/Fcts}&\stackrel{\cal O}{\longrightarrow} & \text{Normal-Ordered Symbols/Fcts} \cr\cr \updownarrow &&\updownarrow\cr\cr \text{Radial-Ordered Operators}&\stackrel{\hat{\cal O}}{\longrightarrow} & \text{Normal-Ordered Operators}\end{array}\tag{B}$ Por ejemplo, el operador diferencial de Polchinski ${\cal O}$ estrictamente hablando sólo tiene sentido si actúa sobre símbolos/funciones. La identificación (A) de símbolos y operadores está implícita en Polchinski.
Con respecto a la idempotencia del orden normal, consulte también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

Gracias. Leí el post sobre la idempotencia. Pero todavía hay algo que no puedo entender. El punto es que para los operadores que son cuadráticos en los campos parece ser válido, pero no en general. Por ejemplo. Si trato de usar la ecuación (1) para el orden normal, obtendría una constante $\cal O 1 =1$ en lugar de $0$ como debo esperar.
@MaPo El orden normal de una constante es la constante, ¿por qué esperas 0?
Tienes razón, pero realmente no puedo entender. Por ejemplo, el ejemplo de @ACuriousMind parece decirnos que es imposible definir realmente esa operación. Estoy muy confundida y no sé cómo aplicar la fórmula. Aún así, si el orden normal de una constante es la constante isfelf, ¿dónde está el error al derivar las ecuaciones (4) y (5) que parecen mostrar que la idempotencia falla?
Solo puede operar con ${\cal O}$ en expresiones ordenadas radialmente. Por lo tanto, no puede aplicar ${\cal O}$ dos veces, ya que después de la primera aplicación de ${\cal O}$ , la expresión ya no está ordenada radialmente.
¡Muchas gracias! Ahora he entendido cómo aplicar correctamente Polchinski (1). Aparte de eso, lo que me preocupa ahora es el ejemplo de @ACuriousMind que parece afirmar que la linealidad falla en el orden normal simplemente aplicando definición, sin tener en cuenta el orden radial. ¿Hay una salida?
linealidad $~:{\cal F}_1~ +~{\cal F}_2:~=~:{\cal F}_1:~ +~ :{\cal F}_2:~$ de un operador que ordena (por ejemplo, orden normal) se cumple si los argumentos ${\cal F}_1$ y ${\cal F}_2$ ya están ordenados de alguna manera, por ejemplo, radialmente. (Tenga en cuenta, en particular, que la ordenación previa de los argumentos elimina la ambigüedad de ordenación del operador explotada en el contraejemplo de la respuesta de ACuriousMind).
¿No deberían las flechas debajo $\cal O$ y $\hat {\cal O}$ ir de derecha a izquierda?
@Hola Adiós: ¡Gracias! Dirección corregida en la ec. (B).

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Hola Adios

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