¿Existe un principio de Hamilton completamente discretizado y sensato?

En física computacional es común formular el principio de Hamilton de forma semidiscreta, donde el espacio es continuo pero el tiempo es discreto: en otras palabras, el Lagrangiano

L ( q , q ˙ , t ) : R norte × R norte × Z → R
se convierte en una función de dos variables reales y una entera. La imposición del principio de acción extrema de Hamilton conduce a ecuaciones de evolución de tiempo discreto particularmente agradables que obedecen automáticamente un teorema de Noether discreto, preservan la estructura simpléctica, etc.

¿Hay alguna manera sensata de llevar la idea anterior a un escenario donde L es puramente discreto? Es decir,

L : Z 3 × Z 3 × Z → Z
donde la posición, la masa, la velocidad, el tiempo y la energía potencial son cantidades enteras?

¿Cómo serán las ecuaciones de Euler-Lagrange? La optimalidad de primer orden de la acción se ve muy diferente, ya que ya no hay una derivada continua para igualar a cero, pero creo que uno puede escribir sistemas de desigualdades que codifican el hecho de que la acción es (discretamente) extrema. ¿Obtienes algún tipo de evolución temporal sensata de estos? ¿Hay algún equivalente al teorema de Noether en este escenario?

Respuestas (1)

Comentarios a la pregunta (v2):

  1. A menudo es posible formular ecuaciones (discretas) de evolución temporal/ecuaciones de movimiento (eoms) en una teoría discretizada. Esto es, por supuesto, útil en física computacional. Sin embargo, OP solicita un principio de acción variacional para una teoría completamente discretizada. Por lo tanto, no discutiremos más el caso donde los eoms (sin un principio variacional) constituyen el primer principio de la teoría.

  2. En un esquema menos ambicioso, se supone que debemos verificar que cuando se satisfacen algunos eoms, la variación de alguna acción es cero. (En otras palabras, la acción tiene un punto estacionario). Esto es posible en algunos casos, pero va en contra del espíritu de una formulación fuera de la cáscara, y no lo discutiremos más en esta respuesta.

  3. En el esquema más ambicioso, se supone que derivamos una versión discreta de las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) (eoms) a partir de un principio de acción variacional. Esto es lo que nos interesará aquí.

  4. Discretización horizontal (por ejemplo, discretización de la variable tiempo t en mecánica de puntos y variables espaciotemporales X m en la teoría de campo) no es un problema, como menciona OP, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y los enlaces en ella.

  5. El problema es la discretización vertical, es decir, la discretización en el espacio objetivo para las variables activas dinámicas de la teoría (digamos q en mecánica de puntos). De ahora en adelante sólo hablaremos de este último caso.

  6. Todavía se puede postular un principio de acción mínima , pero no está claro cómo obtener (condiciones sobre) una derivada variacional, si el q variable solo toma valores discretos.

  7. En algunos casos, habrá un candidato natural para el reemplazo de la ecuación de Euler-Lagrange , cf. punto 2, pero no está claro cómo eso podría derivarse del principio anterior de mínima acción solo en el espíritu del pt. 3. Nos detenemos antes de declarar un teorema de no-go, pero ciertamente no parece prometedor.

  8. El teorema de Noether para simetrías discretas se discutió, por ejemplo, en esta publicación Phys.SE, que también aclara algunas de las dificultades para formular un principio variacional con discretización vertical.

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