Segunda Ley de la Termodinámica de los Agujeros Negros

La prueba es muy simple, Hawking la vio en un instante. Mientras escribía esto, encontré la prueba presentada en la página de Wikipedia para la ecuación de Raychoudhuri. Para entenderlo, hay tres resultados de fondo con los que debe sentirse cómodo.

El área del horizonte tiene sentido físico

Dados tres rayos de luz separados infinitesimalmente casi paralelos en el espacio de Minkowski que se mueven en la dirección perpendicular a su plano de separación, puede definir el área que abarcan cortándolos con un plano de espacio-tiempo y preguntando cuál es el área contenida en el triángulo que forman. . A diferencia de la geometría euclidiana, donde esto nunca es cierto para ningún área, en la geometría de Minkowski el área de este triángulo no depende de la orientación del plano. En otras palabras, puede deslizar cada uno de los tres puntos de intersección hacia arriba y hacia abajo en el rayo de luz sin cambiar el área del triángulo.

Para ver esto, primero observe que si tiene dos rayos de luz paralelos l,l' cuya separación es perpendicular a su línea de movimiento, y tiene una línea entre dos puntos en l y l' respectivamente, la longitud de esta línea no depende de qué dos puntos se conecta. La longitud s en el espacio de Minkowski está definida por

$s^2= A\cdot A$

y si agrega un vector nulo N a A, el resultado no cambia porque$A\cdot N$y$N \cdot N$ambos son cero. Esto implica que si tiene tres rayos de luz que se mueven todos en la misma dirección y están separados perpendicularmente a la dirección del movimiento, conecta estos tres puntos y las longitudes de los tres lados del triángulo resultante son iguales. La congruencia lado-lado-lado también es cierta en el espacio de Minkowski (cuando las longitudes de los lados son distintas de cero).

Entonces, el área de un agujero negro está bien definida: corte la superficie en triángulos infinitesimales que estén cerca de una superficie similar al espacio que corte el horizonte y no importa qué orientación tengan estos triángulos con los rayos de luz, obtendrá la misma respuesta. . Este es un punto importante que no se explica bien en los tratamientos habituales.

Ecuación de desviación

Si dos geodésicas paralelas se mueven a lo largo de una dirección compartida con una separación$\Delta$, puede pensar que su dinámica relativa está determinada por la ley de Newton. Parametrizando el espacio-tiempo en la vecindad de uno de ellos con coordenadas locales, la desviación del otro se determina expandiendo la fórmula de longitud de arco a segundo orden. El resultado es un movimiento con una fuerza lineal de restauración/expulsión.

La constante elástica de la fuerza de restauración/expulsión es una de las propiedades definitorias equivalentes de la curvatura de Riemann:

${d^2 \Delta^\mu\over d\tau^2} = R^\mu_{\nu\sigma\lambda} \Delta^\nu \dot{x}^\sigma\dot{x}^\lambda$

Considere un simplex hecho de puntos cercanos, que se encuentran en un cierto plano infinitesimal similar al espacio, y haga que estos puntos se muevan a lo largo de la dirección temporal perpendicular al plano. La tasa a la que aumenta el logaritmo de su volumen en función de su tiempo propio compartido s se denomina expansión$\theta$. el derivado de$\theta$es interesante porque toma la traza de Ricci del tensor de Riemann cuando lo evalúa en términos de la desviación geodésica anterior:

${d\theta \over ds} = - {1\over 2}\theta^2 - \sigma^2 - R_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x^\nu}$

Dónde$\sigma$no es importante porque siempre hace una contribución negativa. Esta es la ecuación de Raychoudhuri (para la vorticidad que se desvanece --- la vorticidad se desvanece para estas geodésicas separadas infinitesimalmente paralelas para todos los tiempos, porque las fuerzas de curvatura son resortes de Hooke, dirigidos hacia adentro y hacia afuera). Para rutas nulas, el volumen se convierte en un área (dos de las direcciones de expansión perpendiculares del símplex se vuelven paralelas) y el tiempo adecuado se convierte en el parámetro afín.

Tenga en cuenta que en un vector nulo como$\dot{x}$,$T_{\mu\nu}$es igual a$R_{\mu\nu}$, por lo que si se cumple la condición de energía débil, esta cantidad siempre es positiva. Esto te dice que una vez que la divergencia es negativa, debe caer a menos infinito en un tiempo propio finito. Si el área de un pequeño triángulo de rayos de luz paralelos está disminuyendo a lo largo de su parámetro afín en cualquier instante, si se cumple la condición de energía débil, entonces esta área caerá al área cero después de un parámetro afín finito. Esto significa que algunas dos geodésicas vecinas en la congruencia han colisionado o "enfocado".

teorema de enfoque

Cuando dos geodésicas cercanas chocan, no pueden ser caminos "más cortos" entre sus puntos finales, por una razón simple: primero, las desviaciones entre ellas son siempre del primer orden infinitesimal, por lo que tienen la misma longitud de arco (esta es la misma razón por la que las partículas que se mueven lentamente entre sí concuerdan en su tiempo newtoniano compartido, y esta noción se extiende a parámetros afines por límites). Si las geodésicas 1 y 2 comenzaron en el punto P, se volvieron paralelas por un tiempo y luego se cruzaron, puede seguir 1 desde P hasta el punto de intersección, luego seguir 2 hasta el final, y esto tiene la misma longitud que seguir 2 desde P hasta el final. Pero el primer camino dobla una esquina. Si la luz dobla una esquina, es posible alcanzarla con una trayectoria similar al tiempo, por lo que más allá del punto de intersección,

Esto es válido para dos geodésicas que comienzan yendo en una dirección perpendicular a un plano similar al espacio dado, así como aquellas desde un punto común, reemplazando "distancia desde el punto" con "distancia desde el plano".

El teorema del área

El horizonte de eventos de un agujero negro se define como esos caminos de luz que apenas no escapan. Si los rayos de luz se empujan un poco hacia afuera, se escapan al infinito, y si se empujan un poco hacia adentro, entonces son absorbidos por el agujero negro. Esto significa que cualquier objeto masivo que golpee estos rayos de luz nunca debe poder alcanzar estos rayos de luz, debe caer en el agujero negro.

La idea de Hawking fue que si el área está disminuyendo en cualquier momento en cualquier pequeño triángulo en este horizonte, debe caer a cero en un parámetro afín finito. Esto significa que se enfocarán dos geodésicas nulas cercanas en la extensión de este símplex hacia adelante en el parámetro afín. Pero esto significa que su extensión puede vincularse al símplex original por un camino similar al tiempo, por lo que su extensión debe estar dentro del agujero negro, lo que significa que no pueden estar en el límite.