¿Cómo se interpreta correctamente el comportamiento de la capacidad calorífica de un agujero negro cargado?

El papel señalado por el comentario de Daniel me dio un punto de partida para encontrar más literatura sobre este tema y hacer más investigaciones. Después de un tiempo, me quedó claro que mi pregunta es en realidad una pregunta (de investigación) no resuelta. Por lo tanto, realmente no se puede esperar una respuesta definitiva. No obstante, creo que es valioso proporcionar algo de una respuesta. Dado que nadie más lo ha hecho, ahora simplemente describiré los principales resultados de mi propia investigación. Esta "respuesta" solo abordará mi segunda pregunta:

¿Qué significa la divergencia en la capacidad calorífica?

Esta parece ser la pregunta que más ha llamado la atención de los investigadores actuales. Creo que, cronológicamente, este artículo de Davies (de pago, lamentablemente), fue el primero en plantear el hecho de que existe una discontinuidad infinita en la capacidad calorífica de un Reissner-Nordström (o más bien, su generalización, llamada Kerr- Métrica de Newman ) agujero negro en$\frac{Q}{M}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Algo similar ocurre en la configuración de Kerr-Newman cuando la relación entre el momento angular y la masa excede un cierto valor.

Como ya se puede ver en resumen, Davies argumenta que hay un significado físico para esta divergencia: lo ve como una transición de fase . Observamos que, incluso para cargas más altas, el agujero negro tiene una capacidad calorífica positiva y, por lo tanto, puede estar en equilibrio con un baño de calor. Lamentablemente, Davies se abstiene de comentar en profundidad por qué hay (o debería haber) una transición de fase a medida que aumenta la carga. En Kerr ($Q=0$), sugiere una interpretación para la transición de fase que ocurre en un cierto valor de$J$(para fijo$M$):

Los cálculos newtonianos [...] indican que un fluido giratorio y autogravitatorio se vuelve inestable y pierde su ejesimetría en un valor crítico de la relación (energía rotacional/energía gravitatoria newtoniana). Agradezco al Dr. DW Sciama por llamar mi atención sobre un sorprendente resultado de Bertin & Radicati (1976), quienes han recuperado esta inestabilidad como una transición de fase termodinámica de segundo orden [...] . En la fase de mayor momento angular, el esferoide axisimétrico da paso a un elipsoide triaxial. Esto sugiere la posibilidad de que, de manera similar, el agujero negro de Kerr se vuelva inestable [...] y entre en una fase dinámica no axisimétrica en la que aparecen nuevos grados termodinámicos de libertad.

Poco después del artículo de Davies, apareció un artículo del joven físico holandés Piet Hut , con un análisis más profundo (ver la sección 3 y el apéndice 1 del artículo). Hut adopta una posición diferente a la de Davies sobre el significado de la discontinuidad de la capacidad calorífica. Él considera tanto la capacidad calorífica a temperatura constante$Q$, que denota por$C_Q$, y la capacidad calorífica a potencial eléctrico constante$C_\Phi=-\frac{S}{4\pi}$. Aquí,$\Phi$está definida por la ecuación general

Tiempo$C_\Phi$es finito y negativo en todas partes,$C_Q$tiene una discontinuidad infinita en$Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx 0.87$. En este punto también cambia su signo:$C_Q$es positivo para agujeros negros más altamente cargados. Este notable comportamiento de$C_Q$ocurre porque el$Q, T$las coordenadas tienen doble valor, lo cual se ilustra en la Fig. 5 [reproducida a continuación] . los$Q, \Phi$las coordenadas, sin embargo, forman un sistema de coordenadas no degenerado en todas partes. La razón física del doble valor$M (Q, T)$es que la temperatura de un agujero negro tiende a cero no sólo en el límite$M\to\infty$, sino también en el límite inferior$M \downarrow Q$si$Q$se mantiene constante, ya que en ambos casos la gravedad superficial desaparece.

[...]

Para interpretar la discontinuidad en$C_Q$en términos de una transición de fase, el potencial termodinámico apropiado a considerar sería la energía libre de Helmholtz$F(T, Q) =M-TS$en lugar de la habitual energía libre de Gibbs$G(T, \Phi) = F -Q\Phi$, ya que las capacidades caloríficas se pueden escribir como$C_Q = - T(\partial^2 F/\partial T^2)$y$C_\Phi=-T(\partial^2 G/\partial T^2)$, respectivamente.

En analogía con la clasificación de Ehrenfest [que clasifica las transiciones de fase por la derivada más baja de la energía libre que es discontinua en la transición ] de transiciones de fase, podríamos llamar a la discontinuidad en$C_Q$una transición de fase de primer orden, ya que$(\partial F/\partial T)_Q$se vuelve infinito en$Q/M =\frac{1}{2}\sqrt{3}$. Pero esta terminología no parece ser muy apropiada aquí, ya que no existe calor latente en este caso, y la mayoría de las otras funciones termodinámicas se comportan bien (ver Apéndice 1).

En el apéndice 1 mencionado anteriormente encontramos una demostración de que solo aquellas funciones que dependen explícitamente de las coordenadas (supuestamente) degeneradas$Q,T$se ven afectados por la divergencia de$C_Q$. Esto se hace simplemente calculando una serie de funciones termodinámicas y demostrando que no tienen un comportamiento singular, a menos que dependan de la$Q,T$coordenadas

Finalmente, cerca del final de su artículo, Hut analiza el significado de la singularidad:

[...] la discontinuidad infinita no puede ser considerada como un cambio de fase en absoluto. Aquí la entropía es continua junto con todas sus derivadas [...] . Pero esta discontinuidad infinita tiene un significado físico que en cierto modo trasciende el de una transición de fase. Aunque las características internas del sistema no cambian aquí, cambia la forma en que el sistema puede llevarse a un equilibrio estable con un entorno externo. En el lado con un mayor$Q/M$,$C_Q > 0$, y el sistema puede estar en equilibrio con un baño de calor. Pero en la parte inferior$Q/M$lado,$C_Q < 0$, y el sistema solo puede estar en equilibrio si está aislado del mundo exterior. Por lo tanto, en lugar de una transición de fase, aquí encontramos una transición de una región en la que solo se puede usar un conjunto microcanónico a una región en la que son apropiados tanto un conjunto canónico como microcanónico.

Entonces vemos que Hut interpreta la singularidad como un cambio en la forma en que podemos describir el sistema, en lugar de un cambio en las propiedades del sistema mismo.

Más recientemente, ha habido algunas publicaciones nuevas sobre el tema, pero en mi opinión no contienen argumentos muy convincentes, por lo que no creo que valga la pena discutirlas. En cualquier caso, parece que la cuestión no ha sido completamente resuelta. Finalmente, observo que, a mí personalmente, la explicación de Hut me parece bastante convincente.

Una explicación parcial de por qué la capacidad calorífica diverge: tenga en cuenta que la definición de capacidad calorífica se puede reescribir:

De los tres factores, los dos primeros son estrictamente positivos para los BH (no extremos). (El primero porque, bueno, los BH no son lo suficientemente extraños como para tener temperaturas negativas, y el segundo porque la segunda ley). En consecuencia, la capacidad calorífica solo puede divergir si$\left(\tfrac{\partial T}{\partial M}\right)_Q$desaparece Dicho de otra manera, la capacidad calorífica diverge cuando$T$como función de$M$fijo$Q$tiene un máximo.

Claramente, (y creo que esto también lo señala Hut),$T$como función de$M$fijo$Q$debe tener un máximo en el rango$|Q|<M<\infty$porque es positivo y se anula en ambos límites. (Supongo que podríamos preguntarnos por qué, pero no lo haré por ahora).

Esto responde a tu segunda pregunta:

Físicamente, ¿debería uno esperar una capacidad calorífica divergente a cierta carga (para una masa fija)? ¿Por qué se encuentra en$q=± \sqrt{3}/2$?

Para la primera pregunta, realmente no sé si deberíamos esperar una razón física más profunda para esto.