Temperatura de Hawking del agujero negro BTZ

Question

Temperatura de Hawking del agujero negro BTZ

Física
agujeros negros
horizonte de eventos
gravedad cuántica
relatividad general
Termodinámica-del-agujero-negro

123hoedjevan

La métrica del Agujero Negro BTZ está dada por

d s^{2} = - {norte}^{2} d t^{2} + {norte}^{- 2} d r^{2} + r^{2} (d ϕ + {norte}^{ϕ} d t)^{2}

$ds^2 = - N^2 dt^2 + N^{-2} dr^2 +r^2(d\phi + N^\phi dt)^2$ con

{norte}^{2} = - METRO + \frac{r^{2}}{{yo}^{2}} + \frac{j^{2}}{4 r^{2}}, {norte}^{ϕ} = - \frac{j}{2 r}

$N^2 = -M+ \frac{r^2}{l^2} + \frac{J^2}{4 r^2}, \ \ \ \ \ \ N^\phi = -\frac{J}{2r}$ El

g_{r r}

$g_{rr}$ componente de la métrica es singular en los puntos donde

N^{2} = 0

$N^2=0$ , cediendo los horizontes

r_{\pm}

$r_\pm$

r_{\pm} = \sqrt{\frac{METRO {yo}^{2}}{2} (1 \pm \sqrt{1 - {(\frac{j}{METRO yo})}^{2}})}

$r_\pm = \sqrt{ \frac{Ml^2}{2}\left( 1 \pm \sqrt{1-\left(\frac{J}{Ml}\right)^2} \right)}$ Entonces por estos

r_{\pm}

$r_\pm$ , el componente métrico

g_{t t}

$g_{tt}$ no desaparece sino que se convierte

{gramo}_{t t} = \frac{j^{2}}{4 r_{\pm}^{2}}

$g_{tt} =\frac{J^2}{4r_\pm^2}$ Ahora, la receta que aprendí para encontrar una temperatura de Hawking en un horizonte (por ejemplo, Schwarzschild BH) es expandir la métrica rotada de Wick (

t \to i τ

$t\to i\tau$ ) alrededor de la solución donde

g_{τ τ}

$g_{\tau\tau}$ desaparece, encuentra que la métrica es realmente plana en este punto e impone

τ

$\tau$ -periodicidad tal que no hay singularidad cónica en el horizonte. Este período es entonces la temperatura de Hawking inversa

T_{H}^{- 1}

$T_H^{-1}$ .

No veo ninguna singularidad en el $g_{\tau\tau}$ componente en este momento, por lo que no aparecerá ninguna singularidad cónica, y no sé cómo interpretar esto. ¿Significa esto que no hay restricción en $T_H$ y el $\tau$ la periodicidad es gratis? ¿O es mi forma de calcularlo de alguna manera no aplicable a los horizontes BTZ?

Respuestas (1)

Temperatura de Hawking del agujero negro BTZ

123hoedjevan · Answer 1

Creo que encontré una transformación de coordenadas que arroja más luz sobre esto. En lugar de buscar una singularidad cónica en $g_{tt}$ solo debo mirar singularidades cónicas en cualquier parte de la métrica (aparte de $g_{rr}$ ) En primer lugar, la métrica se puede expresar en términos de $r_\pm$ y mecha girada $t\to it_E$ tal que

d s_{mi}^{2} = \frac{(r^{2} - r_{+}^{2}) (r^{2} + r_{-}^{2})}{{yo}^{2} r} d t_{mi}^{2} + \frac{{yo}^{2} r^{2}}{(r^{2} - r_{+}^{2}) (r^{2} + r_{-}^{2})} d r^{2} + r^{2} (d ϕ + \frac{i r_{+} r_{-}}{yo r^{2}} d t_{mi})^{2}

$ds_{E}^2 = \frac{ (r^2-r_+^2)(r^2+r_-^2)}{l^2r}dt_E^2 + \frac{l^2 r^2}{(r^2-r_+^2)(r^2+r_-^2)} dr^2 + r^2(d\phi + \frac{i r_+ r_-}{l r^2} dt_E)^2$ que bajo la transformación de coordenadas

t_{mi}^{'} = r_{+} t_{mi} + r_{-} ϕ, ϕ^{'} = r_{+} ϕ - r_{-} t_{mi}, r^{' 2} = \frac{r^{2} - r_{+}^{2}}{r_{+}^{2} + r_{-}^{2}}

$t'_E = r_+ t_E + r_-\phi, \ \ \ \phi' = r_+ \phi - r_-t_E, \ \ \ r'^2= \frac{r^2-r_+^2}{r_+^2+r_-^2}$ se convierte

d s_{mi}^{2} = \frac{r^{' 2}}{{yo}^{2}} d t_{mi}^{' 2} + \frac{{yo}^{2}}{1 + r^{' 2}} d r^{' 2} + (1 + r^{' 2}) d ϕ^{' 2}

$ds_E^2 = \frac{r'^2}{l^2} dt_E'^2 +\frac{l^2}{1+r'^2} dr'^2 + (1+r'^2)d\phi'^2$ que para

r \to r_{+}

$r\to r_+$ (

r^{'} \to 0

$r'\to 0$ ) se convierte

d s_{mi}^{2} = r^{' 2} d t_{mi}^{' 2} + d r^{' 2} + d ϕ^{' 2}

$ds_E^2 = r'^2 dt_E'^2+dr'^2 +d\phi'^2$ que representa coordenadas polares planas iff

t_{E}^{'} \sim t_{E}^{'} + 2 π

$t_E' \sim t_E' +2\pi$ . Además

ϕ^{'}

$\phi'$ no es periódico. Entonces la periodicidad de

t_{E}^{'}

$t_E'$ es

Δ t_{E}^{'} = 2 π

$\Delta t_E'=2\pi$ , y de

ϕ^{'}

$\phi'$ es

Δ ϕ^{'} = 0

$\Delta \phi'=0$ . Combinando esto se obtiene

2 π = r_{+} Δ t_{mi} + r_{-} Δ ϕ, 0 = r_{+} Δ ϕ - r_{-} Δ t_{mi}

$2\pi = r_+ \Delta t_E + r_-\Delta \phi, \ \ \ \ 0 = r_+\Delta \phi - r_- \Delta t_E$ Entonces la periodicidad del tiempo se convierte en

β = Δ t_{E} = \frac{2 π l r_{+}}{r_{+}^{2} + r_{-}^{2}}

$\beta =\Delta t_E = \frac{2\pi l r_+}{r_+^2+r_-^2}$ al mismo tiempo que establece una periodicidad fija para

ϕ

$\phi$ . Obviamente, la temperatura de Hawking es entonces

T_{H} = \frac{r_{+}^{2} + r_{-}^{2}}{2 π yo r_{+}}

$T_H = \frac{r_+^2+r_-^2}{2\pi l r_+}$

¿verificaste si en el límite extremo esa temperatura llega a cero?
Ah, no fui lo suficientemente completo en mi descripción euclidiana, pero de hecho lo hace. En coordenadas euclidianas la $r_-$ sigue siendo el valor dado anteriormente pero puramente imaginario. Entonces, cuando este BH es extremal @ $Ml=J$ , el numerador se cancela. ¿Es esta desaparición de la temperatura de carraspeo algo que uno siempre ve cuando lleva un BH a límites extremos? ¿Hay alguna intuición sobre por qué este es el caso?
sin intuición, pero parece ser consistente con otros cálculos de temperaturas para agujeros negros giratorios y cargados
en realidad, hay una razón intuitiva: la extremalidad significa que una gran parte de la masa del agujero negro se puede extraer a través del proceso de Penrose o Blandford-Znajek, por lo que, en cierto sentido, se encuentra en un estado ordenado que se puede revertir sin aumentar la entropía La masa del agujero negro cuando no tiene carga, no gira, representa el contenido de energía entrópica que no se puede extraer y parece ser puramente térmica.
Hmm, eso es divertido, la masa extrema indica la masa más pequeña posible, por lo que esto implicaría que un BH no extremo irradia radiación de Hawking y se encoge hasta su masa extrema y no más (ya que no irradia en el caso extremo). ¿No es esto difícil de combinar con el hecho de que la radiación de halcón debería conducir a la desaparición de los BH en lugar de llevarlos a este estado extremo de no radiación?
mira esta respuesta: physics.stackexchange.com/a/46868/10531
también, probablemente hay otras formas cuánticas de extremalidad relacionadas con el 'cabello cuántico' que no se tienen en cuenta en la teoría clásica. Consulte esta pregunta: physics.stackexchange.com/q/47668/10531
La respuesta final es dimensionalmente incorrecta. Este artículo (p7) sugiere que $l$ debiera ser $l^2$ : arxiv.org/pdf/1110.4451v3.pdf

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