¿Nada cae en un agujero negro que se evapora?

Question

¿Nada cae en un agujero negro que se evapora?

Física
agujeros negros
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relatividad general
Termodinámica-del-agujero-negro

Un gato

La métrica Vaidya es la métrica que se puede utilizar para describir la geometría del espacio-tiempo de un agujero negro de masa variable. Esta métrica dice

d τ^{2} = (1 - \frac{2 METRO (v)}{r}) d v^{2} + 2 d v d r - r^{2} d Ω_{2}^{2}

$d\tau^2=\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)d\nu^2+2d\nu dr - r^2 d\Omega_2^2$ Por simplicidad, supondré

d Ω_{2} = 0

$d\Omega_2=0$ . Ahora, la condición para que cualquier intervalo sea espacial se puede leer de esta métrica como

\begin{matrix} (1) & \frac{d r}{d v} < - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 METRO (v)}{r}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}<-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)\tag{1}$ Ahora, supongamos que la trayectoria de una partícula (que, por supuesto, se supone que es una trayectoria similar a la de la luz o similar al tiempo) conecta dos eventos, uno fuera del horizonte y otro dentro del horizonte. Además, tomemos estos eventos como muy cerca del horizonte. Entonces, las coordenadas de estos eventos se pueden tomar como

(v, 2 METRO (v) + d ξ_{o})

$\Big(\nu, 2M(\nu)+ \delta \xi_{o}\Big)$ y

(v + d v, 2 METRO (v + d v) - d ξ_{i})

$\Big(\nu+d\nu, 2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}\Big)$ dónde

δ ξ_{i}

$\delta\xi_{i}$ y

δ ξ_{o}

$\delta\xi_{o}$ son parámetros infinitesimalmente pequeños que podemos cambiar para hacer que los eventos elegidos estén tan cerca del horizonte como deseemos.

Ahora, para el par de estos dos eventos

\begin{matrix} (2) & \frac{d r}{d v} = \frac{2 METRO (v + d v) - d ξ_{i} - 2 METRO (v) - d ξ_{o}}{d v} = 2 \dot{METRO} (v) - (\frac{d ξ_{i} + d ξ_{o}}{d v}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}=\dfrac{2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}-2M(\nu)-\delta\xi_{o}}{d\nu}=2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\tag{2}$

Combinatorio $(1)$ y $(2)$ , obtenemos que nuestra estipulación de que una partícula conecta los dos eventos considerados puede ser verdadera solo si

2 \dot{METRO} (v) - (\frac{d ξ_{i} + d ξ_{o}}{d v}) \geq - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 METRO (v)}{r})

$2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\geq-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)$

dónde $r$ se puede tomar como $2M(\nu)$ en el límite donde hacemos $\delta\xi_{i}$ y $\delta\xi_{o}$ suficientemente pequeño (en comparación con $d\nu$ ). Así, obtenemos

\dot{METRO} (v) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$

Por lo tanto, parece que una partícula puede caer en el horizonte solo si el agujero negro no se está evaporando o está ganando masa. En el caso de un agujero negro que se evapora, este cálculo parece sugerir que nada (ninguna trayectoria similar al tiempo o la luz) puede conectar el exterior con el interior. ¿Es esto cierto?

Observe que la conclusión no puede ser el resultado de una mala elección de las coordenadas porque el argumento depende del valor del intervalo generalmente invariante.

Creo que este es un resultado bastante sorprendente y, por lo tanto, creo que lo más probable es que haya algún defecto fatal en la lógica del argumento presentado. Me gustaría que las respuestas señalaran lo mismo. Presentado de esta manera, puede parecer una pregunta de "verificar mi trabajo", pero espero que no sea una pregunta de verificación de mi trabajo completamente aburrida y fuera de tema que se supone debe evitarse bajo la política de "no revisar mi pregunta de trabajo". ".

Pedro Shor

¿Cómo justifica tomar

d ξ_{i}

$d \xi_i$ y

d ξ_{o}

$d \xi_o$ suficientemente pequeño en comparación con

d ν

$d \nu$ ? Si la partícula cae a cierta velocidad y el horizonte del agujero negro se reduce a una velocidad diferente, ¿no tiene que haber una relación entre estas cantidades?

Un gato

@PeterShor He actualizado mi pregunta para adoptar una nueva notación que ilustre mejor la naturaleza de los diferenciales escritos anteriormente como

d ξ_{o}

$d\xi_{o}$ y

d ξ_{i}

$d\xi_{i}$ . Uno puede pensar en estos parámetros como los parámetros utilizados para atravesar el conjunto de eventos cerca del horizonte. Cuanto menor sea el parámetro

δ ξ

$\delta\xi$ , cuanto más cerca esté el evento del horizonte. Estos parámetros determinan las coordenadas de los puntos finales de la trayectoria. La relación entre ellos y

d ν

$d\nu$ es precisamente lo representado por la penúltima desigualdad en mi publicación, es decir, están conectados por un camino no espacial ...

Un gato

... No creo que deba haber ninguna otra restricción sobre estos diferenciales que la representada por esta desigualdad. Ahora, no creo que tenga una justificación explícita para hacer los diferenciales

δ ξ

$\delta \xi$ suficientemente pequeño en comparación con

d ν

$d\nu$ salvo decir que para un determinado

d ν

$d\nu$ Siempre puedo optar por analizar cuál sería la condición para hacer dos eventos lo suficientemente cerca del horizonte conectados por un camino no espacial en este tiempo

d ν

$d\nu$ .

Un gato

Pero, su comentario me hizo pensar y, curiosamente, incluso si no hacemos el

δ ξ

$\delta\xi$ suficientemente pequeño en comparación con

d ν

$d\nu$ , siempre podemos hacerlos lo suficientemente pequeños en comparación con

2 M (ν)

$2M(\nu)$ --haciendo

1 - \frac{2 M (ν)}{r} = O (δ ξ)

$1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Más lejos

\frac{δ ξ_{o} + δ ξ_{i}}{d ν}

$\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ es no negativo por construcción. Por lo tanto, podemos concluir de todos modos que

\dot{M} (ν) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Respuestas (1)

¿Nada cae en un agujero negro que se evapora?

¿Cómo justifica tomar $d \xi_i$ y $d \xi_o$ suficientemente pequeño en comparación con $d \nu$ ? Si la partícula cae a cierta velocidad y el horizonte del agujero negro se reduce a una velocidad diferente, ¿no tiene que haber una relación entre estas cantidades?
@PeterShor He actualizado mi pregunta para adoptar una nueva notación que ilustre mejor la naturaleza de los diferenciales escritos anteriormente como $d\xi_{o}$ y $d\xi_{i}$ . Uno puede pensar en estos parámetros como los parámetros utilizados para atravesar el conjunto de eventos cerca del horizonte. Cuanto menor sea el parámetro $\delta\xi$ , cuanto más cerca esté el evento del horizonte. Estos parámetros determinan las coordenadas de los puntos finales de la trayectoria. La relación entre ellos y $d\nu$ es precisamente lo representado por la penúltima desigualdad en mi publicación, es decir, están conectados por un camino no espacial ...
... No creo que deba haber ninguna otra restricción sobre estos diferenciales que la representada por esta desigualdad. Ahora, no creo que tenga una justificación explícita para hacer los diferenciales $\delta \xi$ suficientemente pequeño en comparación con $d\nu$ salvo decir que para un determinado $d\nu$ Siempre puedo optar por analizar cuál sería la condición para hacer dos eventos lo suficientemente cerca del horizonte conectados por un camino no espacial en este tiempo $d\nu$ .
Pero, su comentario me hizo pensar y, curiosamente, incluso si no hacemos el $\delta\xi$ suficientemente pequeño en comparación con $d\nu$ , siempre podemos hacerlos lo suficientemente pequeños en comparación con $2M(\nu)$ --haciendo $1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Más lejos $\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ es no negativo por construcción. Por lo tanto, podemos concluir de todos modos que $\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Erik Jorgenfelt · Answer 1

Comencemos considerando en cambio el agujero negro de Schwarzschild: como sabrá, el sistema de coordenadas extendido al máximo es el de Kruskal-Szekeres:

d s^{2} = \frac{32 METRO}{r} {mi}^{- r / 2 METRO} d tu d V - r^{2} d Ω^{2},

$ds^2 = \frac{32M}{r}e^{-r/2M}dU\,dV - r^2d\Omega^2,$ que describe no solo el exterior, el horizonte de sucesos y el interior del agujero negro, sino también una región exterior paralela, y el horizonte de sucesos y el interior de un agujero blanco, inaccesible para los observadores temporales y nulos. La métrica de Vadiya corresponde más directamente a las coordenadas de Eddington-Finkelstein, que se pueden escribir en coordenadas entrantes,

d s^{2} = (1 - \frac{2 METRO}{r}) d v^{2} - 2 d v d r - r^{2} d Ω^{2},

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dv^2 - 2dv\,dr - r^2d\Omega^2,$ o salientes,

d s^{2} = (1 - \frac{2 METRO}{r}) d {tu}^{2} + 2 d tu d r - r^{2} d Ω^{2} .

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)du^2 + 2du\,dr - r^2d\Omega^2.$ Ambos nos permiten trazar a través de un horizonte de eventos, pero mientras que las coordenadas entrantes se trazan a través del horizonte del agujero negro, ¡las salientes se trazan a través del horizonte del agujero blanco! ¿Quizás puedas ver a dónde va esto?

Ahora, al dejar $M = M(v)$ las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein se convierten en la métrica entrante de Vadiya. Y del mismo modo, al dejar $M = M(u)$ las coordenadas salientes de Eddington-Finkelstein se convierten en la métrica saliente de Vadiya. Observe que el elemento de línea que ha escrito es el Vadiya saliente . Es decir, su métrica ya describe un horizonte de eventos "no franqueable", incluso si la radiación se establece en cero. Que se evapore no cambiará esto.

Para aclarar: la radiación emitida por un agujero Vadiya saliente corresponde a la radiación que cruza clásicamente el horizonte de eventos y, por lo tanto, exige una estructura de agujero blanco. Mientras tanto, la radiación de Hawking es un fenómeno cuántico que introduce radiación incluso desde un agujero negro, y no se puede describir con precisión mediante la métrica de Vadiya saliente (para obtener más confirmación, consulte, por ejemplo , este artículo (relativamente reciente) , donde los autores utilizan el Vadiya entrante para analizar Hawking radiación alrededor de un agujero negro dinámico)

Pero, espera un minuto. ¿Significa eso que si $M(u)_{,u} > 0$ en la métrica de salida de Vadiya, ¿podemos realmente acceder al agujero blanco? Dado que el agujero blanco es inaccesible para los observadores temporales y nulos, podemos sospechar una contradicción. De hecho, el cálculo directo muestra que los únicos componentes de Ricci distintos de cero están dados por

\begin{aligned} R_{tu tu} & = - 2 \frac{METRO (tu)_{, tu}}{r^{2}}, & R_{v v} & = 2 \frac{METRO (v)_{, v}}{r^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} R_{uu} &= -2\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & R_{vv} &= 2\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ respectivamente. Ya que

g^{u u} = 0 = g^{v v}

$g^{uu} = 0 = g^{vv}$ , se deduce que las únicas componentes distintas de cero del tensor de energía de tensión son

\begin{aligned} T_{tu tu} & = - 2 k \frac{METRO (tu)_{, tu}}{r^{2}}, & T_{v v} & = 2 k \frac{METRO (v)_{, v}}{r^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} T_{uu} &= -2\kappa\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & T_{vv} &= 2\kappa\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ donde dejamos

κ

$\kappa$ denote la constante de proporcionalidad en las ecuaciones de campo de Einstein. Por lo tanto, a partir de la condición de energía nula (que garantiza que un observador nulo observe una densidad de energía no negativa) debemos tener

M (u)_{, u} \leq 0

$M(u)_{,u} \leq 0$ y

M (v)_{, v} \geq 0

$M(v)_{,v} \geq 0$ . Para concluir, observamos que esto significa que el Vadiya entrante necesariamente describe un cuerpo absorbente, mientras que el Vadiya saliente necesariamente describe un cuerpo emisor.

Gracias por tu elaborada respuesta. Entiendo cómo resuelve mi pregunta, pero la parte que no entiendo es la aplicación de la condición de energía nula a la métrica entrante. Parece implicar que la masa de un agujero negro nunca puede disminuir, lo cual, por supuesto, es una afirmación clásicamente apropiada. Pero la métrica entrante puede tomarse como una métrica que describe un agujero negro de masa variable cuya masa varía debido a los efectos de la mecánica cuántica, ¿verdad? En ese caso, ¿cómo sobrevive la implicación de la condición de energía nula?
@Dvij Honestamente, los detalles de la radiación de Hawking actualmente están más allá de mi experiencia, pero es probable que uno no pueda usar la métrica de Vadiya para intentar un cálculo de la reacción inversa. Tradicionalmente, creo que uno asume que la radiación de Hawking no tiene efecto sobre el parámetro de masa, para retener el vector Killing similar al tiempo. No puedo decir qué sucede una vez que se abandona esta suposición, y no tengo la experiencia para evaluar documentos para recomendación. Quizás alguien más lo haga; podría intentar abrir una nueva pregunta.
De acuerdo, sí, también creo que el cálculo de Hawking se realiza asumiendo que el parámetro de masa es constante. Pero, estaba pensando que si no requerimos la fórmula explícita para la temperatura, sino que simplemente asumimos que, debido a los efectos de la mecánica cuántica, el BH irradia simétricamente de forma esférica, entonces probablemente podamos usar la métrica de Vaidya. Publicaré una pregunta separada con respecto a este punto específico.
Un punto que recientemente llegué a apreciar, que creo que me confunde aún más: el $\nu$ del Vaidya entrante es, por construcción, una coordenada que es una constante de movimiento para un fotón entrante. Esto, en cierto sentido, hace completamente absurdo tratarlo como una coordenada temporal con el sentido usual de la palabra.
Otra cosa: ¿Puede proporcionar una referencia donde pueda entender mejor por qué Vaidya saliente describe un agujero blanco? La razón por la que estoy confundido es que el Vaidya saliente no parece ser la métrica que se obtiene cuando uno invierte la dirección del tiempo en la métrica de Schwarzschild y luego produce el Vaidya entrante para esa métrica invertida. Si ese fuera el caso, sería bastante claro para mí que Vaidya saliente es solo un todo blanco. ¡Gracias!
@Dvij En lo que respecta a $\nu$ ( $v$ en mi notación), tiene razón en que no es una coordenada temporal habitual. Con respecto a Vaidya saliente, creo que la forma más fácil para usted sería refinar su argumento para considerar que su segundo mandato en su $(2)$ es distinto de cero. Otra forma sería comparar las coordenadas de Kruskal-Szekeres y Eddington-Finkelstein.

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