¿Es trivial la gravedad superficial en una superficie nula? (Ecuación de Wald 12.5.2)

En el capítulo 12.5 del texto de Relatividad General de Robert Wald, considera una hipersuperficie nula con un vector normal$\chi^a$. Por definición, en la hipersuperficie nula, tenemos$\chi^a\chi_a=0$. es decir,$\chi^a\chi_a$es constante en la hipersuperficie, por lo que trivialmente encontramos que$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$también debe ser normal a la hipersuperficie. Wald luego argumenta que debido a que ambos$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$y$\chi^a$son normales a la hipersuperficie, deben ser proporcionales, es decir, debe haber una función$\kappa$tal que

$$\nabla^a(\chi^b\chi_b)=-2\kappa\chi^a. \tag{Wald 12.5.2}\label{Wald}$$

Sin embargo, Wald luego afirma (debajo de la ecuación 12.5.15) que$\eqref{Wald}$implica$\nabla^a(\chi^b\chi_b)$no es cero

Pregunta : ¿Wald no se contradice a sí mismo al usar esencialmente$\nabla^a(\chi^b\chi_b)=0$implicar$\nabla^a(\chi^b\chi_b)\ne 0$en la superficie nula?