Singularidad de la escalera cuántica para el oscilador armónico

Su argumento es correcto, por supuesto: no hay garantía de que no habrá muchos más estados que nuestros operadores de escalera no alcancen. La posibilidad más simple es otra escalera equivalente en paralelo, pero también pueden ocurrir estados entre los estados de la escalera.

En el caso del oscilador armónico cuántico, hay argumentos más específicos que puede presentar. Valter Moretti señala aquí que si asumes que el espacio de Hilbert es$L^2(\mathbb{R})$, sabes que la escalera estándar de estados es suficiente porque da una base completa. Creo que eso descarta su propuesta con derivadas fraccionarias, pero aún puede obtener una escalera oculta si el espacio de Hilbert es realmente más grande, como$L^2(\mathbb{R}) \otimes L^2(\mathbb{R})$. Un modelo explícito aquí son dos escaleras paralelas, ambas con espaciado$\hbar \omega/2$, donde el operador de aumento que hemos dado aumenta en ambos simultáneamente.

Pero desde un punto de vista fenomenológico esto no viene al caso. Por supuesto que hay muchos modelos que puedes usar; la clave es encontrar lo que se ajusta al experimento. Sabemos que una transición entre estados con diferencia de energía$\hbar \Delta \omega$libera un fotón de frecuencia$\Delta \omega$. También sabemos que una partícula clásica que oscila con frecuencia$\omega$emite radiación de frecuencia$\omega$(y sus armónicos). Eso nos dice que nuestro modelo cuántico necesita espaciamientos de energía de$\hbar \omega$para encajar con el experimento, y no más pequeño.

Por supuesto que puedes postular otros estados y hacer alguna regla que nunca puedan irradiar, pero la navaja de Occam significa que tal modelo es peor. El experimento nos empuja hacia el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R})$y el hamiltoniano$H = p^2/2m + kx^2/2$, donde la escalera está completa.

La factorización del operador (observable) en un producto no conduce necesariamente a operadores de escalera. Supongamos que el operador hamiltoniano, por ejemplo, se escribe como$H=XY$, entonces

$$[H,X]=[XY,X]=X[Y,X].$$ A menos que $[X,Y]$es una constante, como para los operadores de escalera tradicionales para el oscilador armónico simple, $X$y $Y$no son operadores de escalera. De hecho, un operador $M$es un operador de escalera para un operador $H$cuando es un operador propio para la acción adjunta $\text{ad}(H)$: $$\text{ad}(H)M=[H,M]=\lambda M,$$ dónde $\lambda$es un número complejo. Suponer $|\psi\rangle$es un estado propio para $H$con valor propio $c$, entonces $$HM|\psi\rangle=(\lambda M+MH)|\psi\rangle=(\lambda+c)M|\psi>.$$ no importa si $M$"divide" $H$. Obviamente $\lambda$debe ser real si los valores propios deben interpretarse como las posibles medidas observables. Observe que esta definición de operador de escalera como operador propio para $\text{ad}(H)$se limita a espectros con valores propios igualmente espaciados. Para espectros generales $\lambda_0<\lambda_1<\ldots<\lambda_n<\ldots$y estados propios asociados $\psi_0,\psi_1,\ldots,\psi_n,\ldots$, un operador de escalera $M$(sin relación con el anterior $M$) es definido por $M_{\pm}|\psi_n\rangle\propto |\psi_{n\pm 1}\rangle$para todos $n$. Las dos definiciones coinciden para el oscilador armónico simple, pero no para el átomo de Hidrógeno, donde sólo es aplicable la última.

Como habrás notado, no sólo$a_+$y$a_-$son operadores propios para$\text{ad}(H)$y, simultáneamente, por el operador numérico$\text{ad}(N)$, dónde$N=a_+a_-$es el operador de números, pero cualquier potencia de ellos. De manera más general, definir el grado de un monomio$a_+^na_-^m$como

$$\text{grade}(a_+^na_-^m)=n-m,$$ cualquier monomio es un operador propio para $N$con valor propio igual a su grado: $$\text{ad}(N)(a_+^na_-^m)=(n-m)a_+^na_-^m.$$ Cualquier suma de operadores del mismo grado también es un operador propio. Más aún: si se pueden definir los inversos, la relación entre operadores del mismo grado también son operadores propios. Como ejemplo, deja $M=2a_+^7a_-^5+7a_+^3a_-$. De este modo $$[N,M]=2M,$$ y $$[N,M^{-1}]=-\frac{1}{2}M^{-1},$$ donde el hecho de que si $[N,M]=\lambda M$, entonces $[N,M^{-1}]=-\frac{1}{\lambda}M^{-1}$se utilizó. La última identidad se puede obtener de $[N,MM^{-1}]$.

Los operadores se pueden expresar como una función de los operadores de posición y momento o, de manera equivalente, en términos de$a_+$y$a_-$: la transformación entre ellos es simplemente un cambio de coordenadas. Como cualquier operador puede escribirse como una función de$a_+$y$a_-$y cualquier operador propio para$\text{ad}(H)$es una suma o proporción de monomios del mismo grado, su punto 2) se puede reformular como: ¿el grado debe ser necesariamente un número entero? La respuesta es no. El operador$\sqrt{a_+}$(si existe), por ejemplo, es un operador propio para$\text{ad}(H)$:

$$[H,\sqrt{a_+}]=[a_+a_-,\sqrt{a_+}]=a_+[a_-,\sqrt{a_+}]=\frac{1}{2}\sqrt{a_+}.$$ Se utilizó la regla formal $[a_-,f(a_-,a_+)]=\frac{\partial f}{\partial a_+}$. Si $N|\psi\rangle=c|\psi\rangle$entonces $$N\sqrt{a_+}|\psi\rangle=(c+\frac{1}{2})|\psi\rangle.$$

A estas alturas, deberíamos concluir que se pueden obtener nuevas soluciones para el oscilador armónico simple cuántico mediante la aplicación repetida de un operador como$a_+^{1/n}$, con$n$un número entero, en el estado fundamental$|0\rangle$? No, no deberíamos porque:

1. Operadores como$\sqrt{a_-}$no podría existir. Por ejemplo, la matriz$\left({\begin{smallmatrix}\\0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)$no tiene raíz cuadrada. De hecho, está bien establecido que el espectro del oscilador armónico simple tiene un espectro único, por lo que no deberían existir operadores con grado no entero.

2. Incluso si se pueden definir de alguna manera, podrían (y dada la unicidad del espectro, deberían) producir estados que no sean integrables al cuadrado.

He buscado una definición de$(x-\frac{d}{dx})^{1/2}$, pero no pude encontrar uno. El plan era aplicar este operador a una función gaussiana y ver si el resultado satisface la ecuación de Schrödinger.

En conclusión, la unicidad del espectro para el oscilador armónico simple prohíbe la existencia de operadores de grado no entero. No obstante, sería muy instructivo tener una prueba de inexistencia que no recurra al espectro.

Bien, es hora de reunir todo esto en una respuesta.

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¿Qué muestra Griffiths en su libro? Resumido, muestra que existe un operador$\hat a$tal que:

• El hamiltoniano SHO se puede escribir como$\hat H = A\hat a^\dagger\hat a+B$

• $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$

La combinación de estas dos propiedades implica que el hamiltoniano tiene un conjunto de estados propios en escalera. Estos estados propios se definen de la siguiente manera:

• Definimos$|0\rangle$ser un estado satisfactorio$\hat{a}|0\rangle=0$.

• Definimos$|n\rangle\equiv\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle$

• Usando las dos propiedades de$\hat a$anterior, podemos demostrar que cada$|n\rangle$es un estado propio$\hat H$con energia$nA+B$.

Sabemos que existe al menos UNO de esos$\hat{a}$, porque Griffiths lo escribe explícitamente en su libro y muestra que obedece a las dos propiedades requeridas. La pregunta es, ¿pueden existir DOS operadores con esta propiedad?

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Digamos$\bar a$es un operador, y que$\bar{a}$obedece a ambas propiedades. es decir, tenemos:

• $\hat{H}=\bar{A}\bar{a}^\dagger\bar{a}+\bar{B}$

• $[\bar{a},\bar{a}^\dagger]=1$

Seguimos el mismo procedimiento que el anterior para desarrollar un nuevo conjunto de estados de escalera$|\bar{n}\rangle$con energías$\bar{A}\bar{n}+\bar{B}$. Hay tres casos posibles aquí: o bien$A\neq\bar A$, o$B\neq \bar B$, o$A=\bar A$y$B=\bar B$pero de alguna manera todavía$a\neq \bar a$. Necesitamos mostrar que cada una de estas posibilidades es imposible.

Las pruebas serán pruebas por contradicción. En cada caso, seleccionaremos un estado y mostraremos que al actuar sobre el estado con algún operador, podemos construir otro estado con menor energía. Mostraremos que este proceso no termina (no da como resultado el vector cero) sin importar cuántas veces lo hagamos. Por lo tanto, si continuamos lo suficiente, obtenemos estados de energía negativa. Como sabemos que el oscilador armónico simple no tiene estados de energía negativos, llegaremos a una contradicción.

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Empecemos con$A\neq \bar A$. Sin pérdida de generalidad, suponga$A>\bar{A}$. Entonces para algunos$\bar{n}$, tendremos eso$|\bar{n}\rangle$tiene una energía que no se puede escribir como$An+B$. Entonces, actuando con$\hat{a}$, podemos generar toda una escalera de estados con energías más bajas. El estado$|\phi_m\rangle\equiv(\hat a)^m|\bar n\rangle$tiene energía$E_m=\bar A\bar n+\bar B-Am$. Lo sabemos$|\phi_m\rangle$nunca será igual$|0\rangle$, porque$|\phi_m\rangle$nunca tiene la misma energía que$|0\rangle$. Pero desde$|0\rangle$es el único vector que satisface$\hat a |0\rangle=0$, eso significa que este proceso nunca puede terminar; cada$m$da un vector distinto de cero en el espacio de Hilbert. Haciendo$m$grande, podemos hacer$|\phi_m\rangle$tener energía negativa. Pero el SHO es estrictamente positivo, por lo que esto es imposible. Concluimos que no podemos tener$A\neq \bar A$.

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Ahora, supongamos$A=\bar{A}$, pero$B\neq \bar{B}$. WLOG, asumir$B<\bar{B}$. Entonces$|0\rangle$tiene energía$B$, mientras$|\bar{0}\rangle$tiene energía$\bar{B}$. En particular, desde$|\bar{0}\rangle$es el único estado que satisface$\bar{a}|\bar 0\rangle=0$, actuando$|0\rangle$con$\bar{a}$produce estados de energía arbitrariamente negativa. El estado$|\phi_m\rangle\equiv(\bar a)^m|0\rangle$tiene energía$B-Am$, que puede ser arbitrariamente negativa si elegimos grandes$m$. Por lo tanto, concluimos que no podemos tener$B\neq \bar B$.

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Finalmente, di$A=\bar{A}$y$B=\bar{B}$. queremos mostrar que$a$y$\bar{a}$son esencialmente los mismos.

Conocemos los elementos de la matriz de$\hat{a}$son dados por

$$\langle m|\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}\delta_{n-1,m}$$

Porque$\bar{a}$genera la misma escala de energías, y el espectro de$H$no es degenerado,$\bar{a}$conecta los mismos estados que$a$, hasta fases:

$$\langle m|\bar{a}|n\rangle = e^{i\theta_n}\sqrt{n}\delta_{n-1,m}$$ dónde $\theta_n$posiblemente depende del estado $n$.

Eso es lo mejor que puede hacer: PUEDE elegir un operador de escalera aleatorio que agregue fases a sus estados a medida que sube y baja la escalera. Pero esa es la única libertad que tienes. Las fases no son realmente importantes para la historia, por lo que debe considerar que los operadores de escalera son esencialmente únicos. En particular, NO PUEDE tener un operador de escalera con un peldaño más bajo diferente (diferente$B$), y NO PUEDE tener un operador de escalera con un espaciado diferente (diferente$A$).