Solución de forma cerrada exacta al oscilador armónico cuántico

Primero tenga en cuenta lo siguiente: Si$\psi(x,0)$es cualquier función de onda normalizable en su espacio de Hilbert, entonces$\psi(x,t) = e^{-iHt} \psi(x,0)$(he puesto$\hbar = 1$) satisface la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (lo llamamos "evolución del tiempo"). Esto se puede ver usando el hecho de que los estados estacionarios forman una base para su espacio de Hilbert y así$\psi(x,0)$puede ampliarse en términos de ellos. Luego se puede verificar por sustitución (después de insertar la forma expandida de$\psi(x,0)$en$\psi(x,t)$) que se cumple el TDSE.

Ahora, no he verificado esto explícitamente, pero para mí esto parece que la función de onda evolucionada en el tiempo para el estado fundamental se desplazó hacia la derecha por$a$(esto tiene las propiedades correctas en$a=0$y$t=0$). Es decir, simplemente aplicamos el operador de evolución temporal a$\psi(x,0) = \psi_0(x-a)$dónde$\psi_0(x)$es la función de onda del estado fundamental. Para verificar realmente que$\psi(x,t) = e^{-iHt}\psi(x,0)$coincide con la función de onda que escribe, se puede proceder de la siguiente manera:

Usar

En resumen, encontrar la solución dependiente del tiempo más general se reduce a encontrar el propagador. Luego, se puede usar eso para evolucionar en el tiempo cualquier función de onda estacionaria que se desee.

Esta es la función de onda de un estado coherente ; es una solución bien conocida del oscilador armónico cuántico y tiene una gran cantidad de buenas propiedades. Hay un buen número de formas independientes de derivarlo, por lo que es bastante inútil tratar de adivinar en cuál estaba pensando Griffiths.