¿Las Soluciones del Oscilador Armónico no son siempre una Combinación de Soluciones Separables?

A veces las expansiones no son obvias. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo del oscilador armónico

$$i\partial_t \psi = -\frac 12 \partial^2_x \psi +\frac 12 \omega^2 x^2 \psi$$ tiene una solución de "respiración" $$\psi(x,t)= \left(\frac{\omega}{\pi}\right)^{1/4}\frac 1{\sqrt{e^{i \omega t} +R e^{-i\omega t}}}\exp\left\{ - \frac \omega 2 \left(\frac{1-R\,e^{-2i\omega t}}{1+R\,e^{-2i\omega t}}\right)x^2\right\},$$ donde el parámetro$|R|<1$.

La fórmula de Mehler da la expansión en términos de los estados como

$$\psi(x,t) {=}\pi^{1/4}\sum_{n=0}^\infty e^{-i(n+1/2) \omega t} \varphi_n(0)(i\sqrt R)^n \frac{\varphi_n(\sqrt{\omega} x)}{(\omega)^{1/4}}.$$ Aquí $$\varphi_n(x)\equiv \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(x) e^{-x^2/2}$$ es el normalizado$\omega=1$función de onda del oscilador armónico. Ahora$\varphi_n(0)$desaparece si$n$es raro, y $$\pi^{1/4}\varphi_{2n}(0)= \frac{1}{\sqrt{4^n (2n)! } } \frac{(2n)!}{n!}(-1)^{n}.$$ entonces uno ha encontrado un conjunto de coeficientes de expansión bastante "no obvios".