Sustitución del oscilador armónico cuántico

Question

Sustitución del oscilador armónico cuántico

Silas

La ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico es

(- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + \frac{metro ω^{2}}{2} X^{2}) ψ (X) = mi ψ (X) .

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{m\omega^2}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x).$ Entonces a menudo

x

$x$ se sustituye por

x = ξ a

$x=\xi a$ , dónde

a = \sqrt{ℏ / m ω}

$a=\sqrt{\hbar/m\omega}$ , lo que lleva a

\frac{ℏ ω}{2} (- \frac{\partial^{2}}{\partial ξ^{2}} + ξ^{2}) ψ (ξ) = mi ψ (ξ) .

$\frac{\hbar\omega}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}+\xi^2\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi).$ Entonces mi pregunta es si ahora no debería ser

ψ (a ξ)

$\psi(a\xi)$ , o definen

ψ^{'} (ξ) = ψ (a ξ)

$\psi^\prime(\xi)= \psi(a\xi)$ y luego cambiarle el nombre?

roger vadim

La pregunta es en realidad acerca de las matemáticas.

biofísico

¿Puedes dar la fuente de esto?

AccidentalTaylorExpansion

@RogerVadim Creo que esta pregunta aún encaja mejor en el intercambio de pila de física. Muchos más físicos que matemáticos han trabajado con la ecuación de Schrödinger y el hecho de que un concepto de física contenga matemáticas no significa que sea una pregunta matemática.

roger vadim

@AccidentalTaylorExpansion Creo que esa pregunta es sobre la técnica matemática general, por lo que propuse trasladarla a la comunidad matemática. Pero estoy de acuerdo en que aquí surge en un contexto específico, que es principalmente de interés para los físicos.

Respuestas (2)

Sustitución del oscilador armónico cuántico

@RogerVadim Creo que esta pregunta aún encaja mejor en el intercambio de pila de física. Muchos más físicos que matemáticos han trabajado con la ecuación de Schrödinger y el hecho de que un concepto de física contenga matemáticas no significa que sea una pregunta matemática.
@AccidentalTaylorExpansion Creo que esa pregunta es sobre la técnica matemática general, por lo que propuse trasladarla a la comunidad matemática. Pero estoy de acuerdo en que aquí surge en un contexto específico, que es principalmente de interés para los físicos.

usuario7896 · Answer 1

Sí, tienes razón, uno simplemente redefine el $\psi(x)=\psi_{new}(\xi)=\psi(a\xi)$ . La ecuación de Schrödinger es así

\frac{ℏ ω}{2} (- \frac{\partial^{2}}{\partial ξ^{2}} + ξ^{2}) ψ_{norte mi w} (ξ) = mi ψ_{norte mi w} (ξ)

$\frac{\hbar\omega}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}+\xi^2\right)\psi_{new}(\xi)=E\psi_{new}(\xi)$ La motivación básica es no dimensionalizar la variable independiente. Para recuperar el original

ψ (x)

$\psi(x)$ , tenemos

ψ (X) = ψ_{norte mi w} (\frac{X}{a})

$\psi(x)=\psi_{new}(\frac{x}{a})$

roger vadim · Answer 2

De hecho, para realizar tal operación correctamente, uno tiene que definir una nueva función

ϕ (ξ) = ϕ (a X) = ψ (X) .

$\phi(\xi)=\phi(ax)=\psi(x).$ De manera más general, al definir nueva(s) variable(s)

ζ (x)

$\zeta(x)$ uno tiene

ϕ (ξ) = ϕ (ξ (X)) = ψ (X) .

$\phi(\xi)=\phi(\xi(x))=\psi(x).$ Entonces se pueden calcular las derivadas como, por ejemplo,

\frac{d ψ (X)}{d X} = \frac{d ϕ (ξ)}{d X} = \frac{d ϕ (ξ)}{d ξ} \frac{d ξ}{d X}, \frac{d^{2} ψ (X)}{d X^{2}} = \frac{d^{2} ϕ (ξ)}{d X^{2}} = \frac{d^{2} ϕ (ξ)}{d ξ^{2}} {(\frac{d ξ}{d X})}^{2} + \frac{d ϕ (ξ)}{d ξ} \frac{d^{2} ξ}{d X^{2}},

$\frac{d\psi(x)}{dx}=\frac{d\phi(\xi)}{dx}=\frac{d\phi(\xi)}{d\xi}\frac{d\xi}{dx},\\ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=\frac{d^2\phi(\xi)}{dx^2}=\frac{d^2\phi(\xi)}{d\xi^2}\left(\frac{d\xi}{dx}\right)^2+\frac{d\phi(\xi)}{d\xi}\frac{d^2\xi}{dx^2},$ etcétera.

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Silas

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roger vadim

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usuario7896

roger vadim

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