¿Alguien ha publicado el procedimiento para generalizar operadores de escalera para cualquier potencial en la ecuación de Schrödinger?

No conozco ninguna publicación de este tipo. Sin embargo, este problema puede ser simplemente, por un lado, demasiado trivial y, por otro lado, demasiado alejado de la relevancia práctica. Derivamos lo que buscas para ver:

Un operador de escalera de creación$\hat{a}^\dagger$para estados arbitrarios tendría que ser de la forma

$$\sum_{n=0}^\infty c_n \left| n+1 \right\rangle \left\langle n \right|$$ donde podría permitir la libertad de elegir coeficientes $c_n$para tratar de cumplir cualquier característica útil de $\hat{a}^\dagger$y $\hat{a}$puede desear, digamos alguna generalización del operador numérico $\hat{a}^\dagger \hat{a}$. Puede elegir que sus valores propios sean el número cuántico $n$o la energía dividida por la diferencia de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado, y probablemente algunas otras elecciones son generalizaciones sensatas de la situación del oscilador armónico. De hecho, al elegir $c_n = \sqrt{n+1}$y un oscilador armónico hamiltoniano o, entonces, $\hat{H}=\hbar \, \omega \, \big( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \big)$, reproduce las ecuaciones que proporcionó en la pregunta en una notación más simple que se abstrae de la representación de posición y momento.

En general,$\hat{a}^\dagger$(posiblemente a través de la$c_n$y ciertamente a través de los estados propios de energía$\left| n \right\rangle$) dependerá no solo de su elección de lo que desea del operador numérico, sino también crucialmente del hamiltoniano de su sistema. La forma directa de derivar$\hat{a}^\dagger$es resolver el hamiltoniano para los estados propios de energía, que es el camino que tendría que seguir para obtener operadores de escalera a partir de los primeros principios si no fuera por los libros de texto que simplemente le dan una definición, (posiblemente) como la que reprodujo. Simplemente insertaría los estados propios de energía$\left| n \right\rangle$y formule la restricción para el$c_n$y resolverlo. El ejemplo más simple, porque el$c_n$entonces no depender del hamiltoniano, es la restricción de que el operador numérico tiene el número cuántico como valores propios:

$$\left\langle n \right| \hat{a}^\dagger \hat{a} \left| n \right\rangle = n \qquad \Rightarrow \qquad c_n = \sqrt{n+1}$$

Eso significa que los operadores de escalera para cualquier hamiltoniano específico (oscilador no armónico) generalmente no son útiles para resolver este hamiltoniano, pero en el mejor de los casos para volver a expresarlo. Un oscilador armónico es un caso raro en el que esto conduce a una simplificación, pero este no será el caso en general. El hecho de que obviamente no pueda conservar todas las funciones útiles, por ejemplo, el operador numérico, limita aún más la utilidad de los operadores de escalera especializados.