Puntos de inflexión y segunda derivada de la función de onda

Para una función propia de energía de la energía$E$:

$$0 = (\hat{H} - E) \,\psi = \frac{1}{2m} \hat{P}^2 \,\psi + (\hat{V}-E) \,\psi$$ o, en representación de posición: $$\frac{1}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = (V(x)-E) \,\psi(x)$$ por lo que la segunda posición derivada de $\psi$desaparece cada vez que $V(x) = E$, es decir $x$está en el borde de la región clásicamente permitida.

Como lo menciona @By Symmetry, también podemos leer en esta ecuación que la función de onda tiende a tener un comportamiento oscilatorio ^* dentro de la región físicamente permitida, y se suprime exponencialmente fuera .

_{* En el caso del estado fundamental del oscilador armónico, el comportamiento oscilatorio no es obvio porque solo hay$1/2$una oscilación dentro de la región permitida...}

La función de onda del estado fundamental del oscilador armónico es una gaussiana. Los puntos de inflexión de una Gaussiana (donde la segunda derivada es$0$) ocurren en más y menos una desviación estándar del punto medio. Así que esto es, ligeramente indirectamente, decirte que la dispersión promedio de la posición de la partícula en el suelo está dada por el tamaño de la región clásicamente permitida.

Es una característica general que en las regiones clásicamente prohibidas el término de energía cinética es el hamiltoniano debe ser negativo, lo que tiende a provocar que la función de onda decaiga exponencialmente en estas regiones.

En un punto de inflexión, o inflexión, donde la ecuación de onda cambia desde un punto de movimiento hacia arriba a través de un cambio infinitamente corto (presumiblemente) a un camino de movimiento hacia abajo, la inflexión parece imponer la condición de que puede comenzar una variedad casi desconcertante de diferentes caminos. La onda, en la inflexión, no sabe si continúa una onda sinusoidal, una hipérbola, una línea recta, un círculo, una elipse o cualquier otra curva continua suave.

Vi un grupo de posibilidades dentro de una onda de fotones. Era una onda de energía o de impulso. Usé ideas como Planck Time y Planck Length para tener una idea de la imagen de la ola. De todos modos, el instante de ambigüedad en la inflexión parece ser donde puede surgir la incertidumbre en cuanto a la frecuencia, el impulso o cualquier otra variable que siga la onda.

En ese punto, parece que la onda pierde una parte muy pequeña de su verdadera naturaleza en la probabilidad de que sea una de VARIAS posibilidades y la ambigüedad da como resultado esa pérdida mínima que puede ser parte de, digamos, una teoría cuántica de el corrimiento hacia el rojo observado en la luz de galaxias extremadamente distantes.

Nuevamente, en ese instante, las posibilidades aparte del camino verdadero (que finalmente, por supuesto, domina) incluyen la elipse, un camino circular en la dirección incorrecta, una hipérbola, gaussiana, etc. Ayuda a familiarizarse con el cuanto de acción de Planck, el Planck masa, tiempo de Planck, longitud de Planck y otras pequeñas constantes, porque la mayoría de las ondas que visualizamos son ondas de luz o, a veces, ondas de radio y televisión.