Potencial del oscilador armónico, ¿prueba de que las gaussianas siguen siendo gaussianas?

Question

Potencial del oscilador armónico, ¿prueba de que las gaussianas siguen siendo gaussianas?

André

Leí en varios artículos que para un oscilador armónico hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, un paquete de ondas gaussianas sigue siendo gaussiana.

Desafortunadamente, no pude encontrar ninguna prueba para esta afirmación y al tratar de verificarla yo mismo no tuve éxito. Si hago un ansatz general con un paquete de ondas gaussianas esféricamente simétrico con ancho dependiente del tiempo y fase dependiente del tiempo y el espacio

ψ (t, \vec{X}) = (π a (t)^{2})^{- 3 / 4} Exp (- \frac{X^{2}}{2 a (t)^{2}} + i ϕ (t, \vec{X}))

$\psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{x^2}{2 a(t)^2} + i \phi(t,\vec x)\right)$ e insertarlo en la ecuación de Schrödinger

i \dot{ψ} (t, \vec{X}) = - \frac{1}{2 metro} Δ ψ (t, \vec{X}) + \frac{k}{2} X^{2} ψ (t, \vec{X})

$i \dot{\psi}(t,\vec x) = -\frac{1}{2m} \Delta\psi(t,\vec x) + \frac{k}{2} x^2 \psi(t,\vec x)$ Obtengo ecuaciones diferenciales relativamente complicadas que involucran las primeras derivadas de a y

ϕ

$\phi$ así como derivadas espaciales de primer y segundo orden de

ϕ

$\phi$ . No pude resolver esas ecuaciones o incluso mostrar que existe una solución.

¿Hay una manera fácil de mostrar esto?

¿Hay alguna referencia donde se muestre esto?

¿Cuáles son las soluciones para $a(t)$ y $\phi(t,\vec x)$ para una Gaussiana (dadas las condiciones iniciales $a(0) = \sigma$ y $\phi(0,\vec x)=0$ )?

danu

¿Quizás podría intentar ir al espacio de Fourier, utilizando la descomposición espacial de Fourier?

André

@Danu: ¿Eso no me daría exactamente las mismas ecuaciones? Dado que la transformada de Fourier de una gaussiana es nuevamente una gaussiana y en la hamiltoniana

x^{2}

$x^2$ y

p^{2}

$p^2$ aparecer simétricamente?

danu

He visto una transformada de Fourier simplificar algunos cálculos que involucran gaussianos antes, pero depende de usted si quiere intentarlo.

qmecanico

Más información sobre paquetes de ondas gaussianas: physics.stackexchange.com/search?q=Gaussian+wave+packet

Respuestas (1)

Potencial del oscilador armónico, ¿prueba de que las gaussianas siguen siendo gaussianas?

¿Quizás podría intentar ir al espacio de Fourier, utilizando la descomposición espacial de Fourier?
@Danu: ¿Eso no me daría exactamente las mismas ecuaciones? Dado que la transformada de Fourier de una gaussiana es nuevamente una gaussiana y en la hamiltoniana $x^2$ y $p^2$ aparecer simétricamente?
He visto una transformada de Fourier simplificar algunos cálculos que involucran gaussianos antes, pero depende de usted si quiere intentarlo.
Más información sobre paquetes de ondas gaussianas: physics.stackexchange.com/search?q=Gaussian+wave+packet

Emilio Pisanty · Answer 1

Hay un poco más de estructura en el problema, y le recomendaría que lo aproveche. En particular, sabes que $\phi$ es realmente una función lineal de $x$ , o de lo contrario no es un gaussiano; y que las partes real e imaginaria de su coeficiente tienen un significado físico distinto, que puede obtener tomando valores esperados apropiados. Si aplica esto, entonces, puede hacer que su Ansatz sea

⟨ \vec{X} | ψ (t) ⟩ = ψ (t, \vec{X}) = (π a (t)^{2})^{- 3 / 4} Exp (- \frac{(\vec{X} - {\vec{X}}_{0} (t))^{2}}{2 a (t)^{2}} + i {\vec{pag}}_{0} (t) \cdot \vec{X} / ħ) .

$\langle \vec x|\psi(t)\rangle= \psi(t,\vec x) = (\pi a(t)^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{(\vec x-\vec x_0(t))^2}{2 a(t)^2} + i \vec p_0(t)·\vec x/ħ\right).$ Aún mejor, puede calcular fácilmente los valores esperados de posición y momento para ser

⟨ ψ (t) | \vec{X} | ψ (t) ⟩ = {\vec{X}}_{0} (t)

$\langle\psi(t)|\vec x|\psi(t)\rangle=\vec x_0(t)$ y

⟨ ψ (t) | \vec{pag} | ψ (t) ⟩ = {\vec{pag}}_{0} (t),

$\langle\psi(t)|\vec p|\psi(t)\rangle=\vec p_0(t),$ y puede aplicar el teorema de Ehrenfest para obtener ecuaciones de movimiento significativas y fáciles de resolver para estas cantidades. Esto restringe completamente su solución.

Por supuesto, esto debería dejarlo un poco incómodo porque no ha probado que $\psi(t,\vec x)$ es una solución del TDSE... pero descubrirlo está a unas pocas diferenciaciones de distancia. Como sabe que es una solución de todos modos, está en un terreno bastante seguro.

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André

danu

André

danu

qmecanico

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Emilio Pisanty

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