Oscilador armónico cuántico 3D

Question

Oscilador armónico cuántico 3D

walter w

Para un QHO 3D isotrópico en un potencial

V (X, y, z) = \frac{1}{2} metro ω^{2} (X^{2} + y^{2} + z^{2}) .

$V(x,y,z)={1\over 2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2).$ Puedo ver por independencia del potencial en el

x, y, z

$x,y,z$ coordenadas que la solución a la ecuación de Schrödinger sería de la forma

ψ (X, y, z) = F (X) gramo (y) h (z) .

$\psi(x,y,z)=f(x)g(y)h(z).$ Explícitamente, ¿cuál sería? Lo es

ψ (X, y, z) = C H_{{norte}_{X}} H_{{norte}_{y}} H_{{norte}_{z}} {mi}^{- \frac{metro ω}{2 ℏ} (X^{2} + y^{2} + z^{2})},

$\psi(x,y,z) = cH_{n_x}H_{n_y}H_{n_z}e^{-{m\omega\over2\hbar}(x^2+y^2+z^2)},$ dónde

H_{n_{i}}

$H_{n_i}$ son los

i t h

$ith$ polinomio de Hermite? (Una consulta adicional, seguramente dado que el potencial es radial, ¿hay una forma de solución de coordenadas polares que podría ser mejor? Pero esto no se pide en la pregunta. Además, ¿isotrópico solo significa que el potencial es esféricamente simétrico ? )

¿Cuántos estados linealmente independientes tienen energía?

mi = ℏ ω (\frac{3}{2} + norte) ?

$E=\hbar\omega({3\over2}+N)~?$ ¿Se supone que debo estar contando el número de combinaciones de

n_{x}, n_{y}, n_{z}

$n_x,n_y,n_z$ calle

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z = N$ ? Recuerdo vagamente alguna noción

(n, l)

$(n,l)$ mencionado una vez, pero no puedo recordar qué es ni encontrar las notas sobre esto.

JT_NL

@JM: Si lo ve como una pregunta sobre el operador Ornstein-Uhlenbeck, encaja aquí ;-).

joriki

Por mucho que me gustaría responder a la pregunta, creo que pertenece a la física.SE. Las respuestas son bien conocidas por los físicos. Véase, por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/… .

Tomáš Brauner

Todas sus preguntas se responden aquí , vea en particular la sección sobre el oscilador armónico N-dimensional.

walter w

Gracias, Tomás. Todavía hay algo que no entiendo muy bien. ¿El estado fundamental del sistema corresponde a

N = 1

$N=1$ en

E = ℏ ω (\frac{3}{2} + N) = ℏ ω (\frac{3}{2} + n_{x} + n_{y} + n_{z})

$E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Pero entonces creo que el

n_{i}

$n_i$ debe ser

\geq 1

$\geq1$ ? Y no entiendo qué significan los estados linealmente independientes en este contexto. ¿Qué tengo que comprobar para demostrar que son LI?

Tomáš Brauner

El estado fundamental corresponde a

N = 0

$N=0$ como todo

n_{i}

$n_i$ debe ser

\geq 0

$\geq0$ . Los números de ocupación

n_{i}

$n_i$ son valores propios de los operadores hermitianos que se conmutan mutuamente

a_{i}^{†} a_{i}

$a_i^\dagger a_i$ . Cualquier dos estados con diferentes conjuntos de

n_{i}

$n_i$ son por lo tanto ortogonales, por lo tanto también linealmente independientes. Como dices, para encontrar la degeneración de los niveles de energía, solo necesitas encontrar el número de soluciones a la ecuación

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z=N$ con enteros no negativos

n_{i}

$n_i$ . También puede derivar el mismo resultado usando los números cuánticos de coordenadas polares

n, l

$n,l$ - para eso ver Wikipedia.

Respuestas (1)

Oscilador armónico cuántico 3D

@JM: Si lo ve como una pregunta sobre el operador Ornstein-Uhlenbeck, encaja aquí ;-).
Por mucho que me gustaría responder a la pregunta, creo que pertenece a la física.SE. Las respuestas son bien conocidas por los físicos. Véase, por ejemplo , en.wikipedia.org/wiki/… .
Todas sus preguntas se responden aquí , vea en particular la sección sobre el oscilador armónico N-dimensional.
Gracias, Tomás. Todavía hay algo que no entiendo muy bien. ¿El estado fundamental del sistema corresponde a $N=1$ en $E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Pero entonces creo que el $n_i$ debe ser $\geq1$ ? Y no entiendo qué significan los estados linealmente independientes en este contexto. ¿Qué tengo que comprobar para demostrar que son LI?
El estado fundamental corresponde a $N=0$ como todo $n_i$ debe ser $\geq0$ . Los números de ocupación $n_i$ son valores propios de los operadores hermitianos que se conmutan mutuamente $a_i^\dagger a_i$ . Cualquier dos estados con diferentes conjuntos de $n_i$ son por lo tanto ortogonales, por lo tanto también linealmente independientes. Como dices, para encontrar la degeneración de los niveles de energía, solo necesitas encontrar el número de soluciones a la ecuación $n_x+n_y+n_z=N$ con enteros no negativos $n_i$ . También puede derivar el mismo resultado usando los números cuánticos de coordenadas polares $n,l$ - para eso ver Wikipedia.

valdo · Answer 1

Su solución es correcta (multiplicación de soluciones QHO 1D).
Dado que el potencial es radialmente simétrico, conmuta con el operador de momento angular ( $L^2$ y $L_z$ por ejemplo). Por lo tanto, puede construir una solución de la forma $|nlm>$ dónde $n$ estados para la descripción del estado radial y $l_m$ - el angular. ¿Es mejor? Depende del problema. Es solo la otra base en la que puede representar la solución.
Isotrópico , probablemente signifique lo que sugiere, el potencial es esféricamente simétrico. Depende del contexto.
Sí, hay que contar el número de combinaciones donde $n_x+n_y+n_z=N$ .

Oscilador armónico cuántico 3D

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JT_NL

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Tomáš Brauner

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valdo

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