El hamiltoniano se puede diagonalizar transformando y a y . Entiendo cómo se procede a partir de ahí para encontrar el espectro de , el estado fundamental etcétera. Pero tengo problemas para entender por qué la elección simple es todo lo que se necesita para diagonalizar el hamiltoniano.
En los grupos SU(2) se puede realizar la construcción de mayor peso para el representación irreducible dimensional (espín irrep). Pero ahí se tiene la base de Cartan-Weyl que consiste en y luego usa y encontrar tal que esto es especial con tal que aumenta y disminuye el valor propio de .
El oscilador armónico se siente más simple que el grupo SU(2) ya que solo tenemos excitaciones de un tipo. Con momento angular o giro, parece haber muchos más grados de libertad. Por otro lado, la base para el oscilador armónico es infinita y eso hace que todas las representaciones matriciales de y un poco más complicado.
¿Por qué funciona el método algebraico para el oscilador armónico?
De manera similar a AccidentalFourierTransform, no estoy seguro de entender bien su problema.
Sin embargo, hay un punto crucial perdido en su argumento, generalmente ausente en muchos libros de texto sobre estos temas.
Es cierto que descomponiendo como y tomando las relaciones (siguiendo de CCR) en cuenta se encuentra un conjunto de vectores etiquetados por , , tal que , pero de ninguna manera es suficiente para probar que el espectro de es discreto con
El hecho perdido es que los vectores forman un conjunto completo de vectores ortonormales.
Es necesario investigar este tema ya que el espacio de Hilbert es por lo tanto infinitamente dimensional.
La completitud no surge de argumentos algebraicos y debe establecerse por separado centrándose en la forma explícita de las funciones de onda. . Estas son la base de las funciones de Hermite cuyo lapso finito es denso en , asegurando a su vez que el conjunto ortonormal está completo como quería. Como corolario del teorema espectral, es esencialmente autoadjunto en el tramo de la sy el espectro de su extensión autoadjunta única es solo (1).
En cuanto a las evidentes similitudes con las construcciones análogas relacionadas con y la teoría del momento angular, de hecho es posible demostrar que es el espacio portador de una representación irreducible (fuertemente continua) del grupo de Lie de Weyl-Heisenberg, y el procedimiento algebraico basado en las manipulaciones algebraicas de y construir esta representación es estrictamente análogo al empleado para construir las correspondientes representaciones unitarias irreductibles de tratar con los operadores de escalera y .
La situación del grupo compacto de Lie es sin embargo diferente, debido al hecho conocido de que todas las representaciones unitarias irreductibles fuertemente continuas de un grupo topológico compacto son necesariamente de dimensión finita en vista del teorema de Peter-Weyl. Esta característica garantiza que las manipulaciones algebraicas puras sean suficientes para encontrar una base ortogonal (¡necesariamente finita!) del momento angular, por ejemplo. El argumento no puede usarse para el oscilador armónico porque el grupo de Weyl-Heisenberg no es compacto y admite representaciones de infinitas dimensiones.
Bueno, no estoy seguro de haber entendido tu pregunta, así que voy a escribir lo que pienso y veamos si es útil :-)
el algebra es todo lo que necesitas para diagonalizar , pero esto es porque lo que parece:
Los observables importantes, a saber , se puede escribir como polinomios en :
Ahora, diagonalizando es lo mismo que resolver para la evolución temporal de los operadores, porque en la base donde Esta evolución en el tiempo diagonal es trivial. Pero, la evolución del tiempo viene dada por el conmutador. , y usando la regla del producto y la linealidad de , es fácil ver que si sabemos , y , conocemos el conmutador de cualquier observable con , es decir, conocemos la evolución temporal de cualquier observable.
Por ejemplo,
Con esto, si conocemos los conmutadores individuales y podemos escribir
Conclusión: el álgebra de es suficiente para especificar completamente el conmutador de con cualquier operador , y por lo tanto es suficiente para determinar la evolución temporal de cualquier observable. Esto a su vez significa que, una vez que sabemos, , y , conocemos los valores propios de .
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Hay dos formas de introducir el operadores.
1) La forma de Dirac (como se puede encontrar en la mayoría de los libros sobre QM): Suponemos que existen dos operadores que tomamos como fundamental, y definimos
En este método, todos los observables se pueden escribir como polinomios en y , es decir, como polinomios en .
2) Método de Weinberg (ver Weinberg I. para más detalles): Suponemos que existe una base discreta tal que cualquier Se puede escribir como (suma implícita). Entonces podemos escribir
En esta imagen, los operadores son "fundamentales", y podemos definir, por ejemplo, . Ahora, ¿cómo sabemos que ? bueno, nosotros no. Pero WLOG podemos escribir
Este análisis muestra cómo podemos derivar el oscilador armónico usual si asumimos que son los operadores fundamentales. En cualquier caso, debe quedar claro que, ya sea que tratemos como fundamental o derivado, el conmutador es todo lo que necesitamos para encontrar los valores propios de , porque diagonalizando es lo mismo que resolver la evolución temporal, que a su vez viene dada por . Como en 1) y 2) podemos escribir cualquier como un polinomio en , una vez que sabemos sabemos para cualquier .
AccidentalFourierTransformar
Valter Moretti
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Valter Moretti
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