¿Alguien puede explicar los teoremas de singularidad de Hawking-Penrose y la incompletitud geodésica?

Una de las mayores sorpresas que nos ha dado la Relatividad General (GR) es que bajo ciertas circunstancias la teoría predice sus propias limitaciones. Hay dos situaciones físicas en las que esperamos que la Relatividad General se rompa. El primero es el colapso gravitacional de ciertas estrellas masivas cuando se agota su combustible nuclear. El segundo es el pasado lejano del universo cuando la densidad y la temperatura eran extremas. En ambos casos, esperamos que la geometría del espacio-tiempo muestre algún comportamiento patológico.

El primer paso hacia una caracterización matemática bajo qué circunstancias GR se descompone se logró en el trabajo seminal de Penrose y Hawking en sus teoremas de singularidad). La estructura general de los teoremas establece que si en un espaciotiempo (${\cal{M}}, g_{ab}$):

• el contenido de materia satisface una condición de energía
• la gravedad es lo suficientemente fuerte en alguna región
• y se cumple una condición causal global

después (${\cal{M}}, g_{ab}$) debe ser geodésicamente incompleto.

Las condiciones de energía son desigualdades generales que relacionan el tensor de momento de energía de la materia,$T_{ab}$, con una determinada clase de campos vectoriales. Por ejemplo: la condición de energía débil establece que$T_{ab}u^{a}u^{b}\ge0$para cualquier vector temporal$u_{a}$(por continuidad, esto también será cierto para cualquier vector nulo$v^{a}$); la condición de energía dominante requiere que, en cualquier base ortonormal, la densidad de energía domine a todos los demás términos,$T^{00}\ge |T^{\alpha\beta}|$; y la condición de energía fuerte establece que$T_{ab}u^{a}u^{b}\ge u^{a}u_{a}g^{cb}T_{cb}$para cualquier vector temporal$u_{a}$.

El segundo requisito del teorema se puede enunciar a veces exigiendo la existencia de una superficie atrapada cerrada,$\cal{T}$. Con esto se quiere decir un$C^{2}$2 superficies similares a un espacio cerrado tales que las dos familias de geodésicas nulas ortogonales a${\cal{T}}$están convergiendo. Esta es la descripción formal de la idea intuitiva de que el campo gravitatorio se vuelve tan fuerte en alguna región que los rayos de luz (y todas las demás formas de materia) quedan atrapados dentro de una sucesión de 2 superficies de área cada vez más pequeña.

Las condiciones causales globales vienen en diferentes formas. La idea del espacio-tiempo cronológico es que no existen curvas temporales cerradas. Por otro lado, una causalidad fuerte satisface que para todo punto$p\in{\cal{M}}$hay un barrio$\cal{V}$de$p$que ninguna curva no espacial intersecta más de una vez. Finalmente, se puede exigir que haya superficie$S$que es cualquier subconjunto del espacio-tiempo que es atravesado por cada curva inextensible no espacial, es decir, cualquier curva causal, exactamente una vez. Esta superficie entonces se llama Superficie de Cauchy.

La noción de incompletitud geodésica se puede entender mejor definiendo lo que entendemos por completitud geodésica. Un espacio-tiempo geodésico completo es aquel en el que cualquier geodésica admite una extensión a valores de parámetros arbitrariamente grandes. Entonces, un espacio-tiempo que no sea geodésicamente completo, debe ser geodésicamente incompleto. La incompletud geodésica describe intuitivamente que existe una obstrucción para que los observadores en caída libre continúen viajando a través del espacio-tiempo. En cierto sentido, han llegado al borde del espacio-tiempo en un tiempo finito; se han encontrado con una singularidad.

Como nota, estos teoremas no muestran la expansión de la curvatura, que es el método habitual para mostrar que los agujeros negros o el Big Bang tienen una singularidad gravitatoria 'verdadera' y no solo una pérdida de diferenciabilidad (como en las ondas de choque o la punta de un cono).