Ecuación de desviación geodésica: ¿por qué la segunda derivada ordinaria da la respuesta correcta?

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Ecuación de desviación geodésica: ¿por qué la segunda derivada ordinaria da la respuesta correcta?

Pedro4075

He calculado la respuesta correcta a mi problema, pero no entiendo una de las suposiciones que hice al hacerlo.

Usé la ecuación de desviación geodésica.

\frac{D^{2} ξ^{m}}{D λ^{2}} + R_{β α γ}^{m} ξ^{α} \frac{d X^{β}}{d λ} \frac{d X^{γ}}{d λ} = 0

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{D\lambda^{2}}+R_{\phantom{\mu}\beta\alpha\gamma}^{\mu}\xi^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}\frac{dx^{\gamma}}{d\lambda}=0$

para mostrar que en la superficie de una esfera unitaria dos partículas separadas por una distancia inicial $d$ , comenzando desde el ecuador y viajando hacia el norte (es decir, en líneas de constante $\phi$ ) tendrá una separación $s$ Tiempo después $t$ igual a

s = ξ^{ϕ} = d pecado θ = d porque (v t) .

$s=\xi^{\phi}=d\sin\theta=d\cos\left(vt\right).$ Esto es similar a la desviación geodésica en dos esferas, excepto que la pregunta se resolvió usando geometría esférica simple.

La suposición que hice fue que la segunda derivada absoluta wrt $t$ es igual a la segunda derivada ordinaria, es decir

\frac{D^{2} ξ^{m}}{d t^{2}} = \frac{d^{2} ξ^{m}}{d t^{2}} .

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}=\frac{d^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}.$ Mi pregunta es, ¿por qué se me permite hacer esta suposición?

Me dijeron en otro foro de física que la respuesta es porque el problema se enmarca en términos de la coordenada normal de Riemann (porque la distancia que recorren los autos a lo largo de sus geodésicas separadas es una función lineal del tiempo $t$ ). Solo puedo suponer que de alguna manera esto hace que los coeficientes de conexión desaparezcan en la ecuación derivada absoluta

\frac{D V^{α}}{d λ} = \frac{d V^{α}}{d λ} + V^{γ} Γ_{γ β}^{α} \frac{d X^{β}}{d λ},

$\frac{DV^{\alpha}}{d\lambda}=\frac{dV^{\alpha}}{d\lambda}+V^{\gamma}\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda},$ pero no puedo ver por qué es esto. Como señalé en un comentario a continuación, entiendo que es posible elegir coordenadas en un punto donde los coeficientes de conexión desaparecen, pero usé las coordenadas polares ordinarias

ϕ

$\phi$ y

θ

$\theta$ para calcular la respuesta correcta. Usar dos conjuntos diferentes de coordenadas como este parece un caso de "tener tu pastel y comértelo".

El cálculo, por cierto, está aquí (mi respuesta a mi pregunta): desviación geodésica en una esfera unitaria

una mente curiosa

¿Es consciente de que, localmente, siempre puede elegir coordenadas que hagan desaparecer las derivadas de la métrica (y, por lo tanto, de Christoffels)?

Pedro4075

Creo que sí. ¿No es eso lo que Schutz llama el teorema de la "planitud local"? Lo que no entiendo es que calculé correctamente la respuesta usando la esférica ordinaria

θ, ϕ

$\theta,\phi$ coordenadas No puedo ver cómo los coeficientes de conexión desaparecen usando estos.

si

Eso es cierto solo por un punto.

p

$p$ .

Respuestas (1)

Ecuación de desviación geodésica: ¿por qué la segunda derivada ordinaria da la respuesta correcta?

¿Es consciente de que, localmente, siempre puede elegir coordenadas que hagan desaparecer las derivadas de la métrica (y, por lo tanto, de Christoffels)?
Creo que sí. ¿No es eso lo que Schutz llama el teorema de la "planitud local"? Lo que no entiendo es que calculé correctamente la respuesta usando la esférica ordinaria $\theta,\phi$ coordenadas No puedo ver cómo los coeficientes de conexión desaparecen usando estos.

Vacío · Answer 1

La primera razón es que su "distancia" entre geodésicas se mide por una dirección paralelamente propagada $\partial/\partial \phi$ . Si echas un vistazo a la esfera, la diferencia $\Delta \phi$ no corresponde a la distancia entre los puntos de las geodésicas. La distancia entre ellos se mediría por longitudes de arco de grandes círculos . pero estas usando $\theta=const$ círculos que no son los grandes círculos a menos que $\theta=\pi/2$ .

La segunda razón es que está trabajando en un espacio de curvatura constante. Vea abajo.

Digamos que tomas un vector $\zeta^\mu$ y propáguelo a lo largo de su geodésica para obtener $\zeta^\mu(\lambda)$ , es decir, resuelves

\frac{D ζ^{m}}{d λ} = 0

$\frac{D \zeta^\mu}{d \lambda} = 0$ Gracias a eso ahora tienes por una aplicación directa de la regla de Leibniz

\frac{D^{2} (ξ^{m} ζ_{m})}{d^{2} λ} = \frac{D^{2} ξ^{m}}{d^{2} λ} ζ_{m}

$\frac{D^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} = \frac{D^2\xi^\mu}{d^2 \lambda} \zeta_\mu$ Pero

ξ^{μ} ζ_{μ}

$\xi^\mu \zeta_\mu$ es un escalar que se propaga trivialmente, por lo que en realidad también obtienes

D / d λ \to d / d λ

$D/d\lambda \to d/d\lambda$ . Ahora puedes proyectar tu ecuación de ecuación geodésica en

ζ^{μ}

$\zeta^\mu$ Llegar

\frac{d^{2} (ξ^{m} ζ_{m})}{d^{2} λ} + R_{v k λ}^{m} ξ^{k} {tu}^{v} {tu}^{λ} ζ_{m} = 0 (*)

$\frac{d^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} + R^\mu_{\;\nu \kappa \lambda} \xi^\kappa u^\nu u^\lambda \zeta_\mu = 0 \; \; \; \;(*)$

Ahora para usar el hecho de que estás en un espacio de curvatura constante. En tal espacio, puede expresar el tensor de curvatura como

R_{m v k λ} = k ({gramo}_{m k} {gramo}_{v λ} - {gramo}_{m λ} {gramo}_{v k})

$R_{\mu \nu \kappa \lambda} = K(g_{\mu \kappa} g_{\nu \lambda} - g_{\mu \lambda} g_{\nu \kappa})$ Cuando conectas esto en la ecuación de desviación geodésica, obtienes

\frac{D^{2} ξ^{α}}{d λ^{2}} + {tu}^{2} k ξ^{α} = 0

$\frac{D^2 \xi^\alpha}{d\lambda^2} + u^2 K \xi^\alpha = 0$ Dónde

u = d x / d λ

$u = dx/d\lambda$ y elegimos una ortogonal

ξ

$\xi$ a ello (como también es vuestro caso). Cuando haces la proyección en la propagación paralela

ζ_{α}

$\zeta_\alpha$ , usted obtiene

\frac{d^{2} (ξ^{α} ζ_{α})}{d^{2} λ} + {tu}^{2} k ξ^{α} ζ_{α} = 0

$\frac{d^2 (\xi^\alpha \zeta_\alpha)}{d^2\lambda} + u^2 K \xi^\alpha \zeta_\alpha = 0$ Es decir, si usted está investigando sólo

Δ ϕ = ξ^{α} ζ_{α}

$\Delta \phi = \xi^\alpha \zeta_\alpha$ dónde

ζ = \partial / \partial ϕ

$\zeta = \partial/\partial \phi$ , puedes usar incluso esta ecuación estrictamente lineal.

Tenga en cuenta que sin usar la curvatura constante del espacio, terminaría con la ecuación $(*)$ lo que no te da mucha idea de por qué deberías poder encontrar $\xi^\alpha \zeta_\alpha$ en la suma con el tensor de curvatura. Entonces, su espacio es especial y su medida de desviación es especial: ambos son ingredientes necesarios para la suposición.

Entonces, ¿puedo suponer que como solo una de las curvas de coordenadas (espero que sea el término correcto) es una geodésica (es decir, la $\phi=constant$ uno), entonces la respuesta no tiene nada que ver con las coordenadas normales de Riemann? Además, no me di cuenta de que si $\frac{D\zeta^{\mu}}{d\lambda}=0$ entonces $\frac{D\zeta_{\mu}}{d\lambda} =0$ . He visto un problema similar a este en línea pero con una de las partículas moviéndose a lo largo del ecuador ( $\theta =\pi/2$ ), lo que significa que los coeficientes de conexión desaparecen "naturalmente" y la 2.ª derivada absoluta es igual a la 2.ª derivada ordinaria, lo que simplifica mucho las cosas.
¿Por qué el lado derecho de tu ecuación es 0? Todo el mundo parece suponer esto, pero no puedo encontrar a nadie que pueda explicar cuál es el fundamento de esta suposición.
@DonaldAirey Hay seis ecuaciones en mi publicación. ¿A cuál te refieres?
@Void - El quinto. El que comienza con "Si conectas esto en la Ecuación de Desviación Geodésica"...

Ecuación de desviación geodésica: ¿por qué la segunda derivada ordinaria da la respuesta correcta?

Pedro4075

una mente curiosa

Pedro4075

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