Duda sobre la existencia de puntos conjugados en geodésicas temporales

La expansión de una congruencia geodésica similar al tiempo con un campo vectorial tangente (normalizado) ξ a Se define como θ = ∇ a ξ a . Asumiendo la condición de energía fuerte, R a b ξ a ξ b ≥ 0 , y que la congruencia es hipersuperficial-ortogonal (es decir ∇ b ξ a = ∇ a ξ b ), entonces la evolución temporal de θ obedece a la siguiente ecuación (Wald 1984, Sec. 9.2):

(1) θ − 1 ( τ ) ≥ θ 0 − 1 + 1 3 τ
De esto se sigue que para una expansión inicial negativa, θ 0 < 0 , θ − 1 ( τ ) tiende a cero en el lado negativo como τ aumenta, es decir, la expansión θ diverge a − ∞ . ¡La gravedad es atractiva!

Hasta aquí todo bien... Pero, ¿y si la expansión inicial fuera positiva? En ese caso θ ( τ ) sigue siendo positivo para todos τ , acercándose a cero para τ → ∞ . Según lo entiendo, esto parece estar diciendo que no hay distribución de materia (satisfaciendo la condición de energía fuerte) que puede volver a converger en una congruencia geodésica inicialmente en expansión. Pero eso parece obviamente incorrecto. Las geodésicas de expansión inicial de partículas que pasan lo suficientemente cerca de, digamos, un planeta, obviamente pueden volver a converger debido a la desviación de la gravedad, ¿verdad? De hecho, el punto de toda esta sección es esencialmente mostrar que las geodésicas poseen puntos conjugados (pares de puntos en una geodésica que tienen cada uno θ = − ∞ ). Wald afirma que

Si R a b ξ a ξ b ≥ 0 en todas partes a lo largo de la geodésica γ y R a b ξ a ξ b > 0 en el punto r ∈ γ , entonces se puede demostrar que para pag suficientemente lejos de r , la expansión de la congruencia geodésica temporal que emana de pag debe ser negativo en r . Por eso pag tendrá un punto conjugado q en γ .

La última afirmación sobre q se sigue del mismo razonamiento que presenté al principio para la expansión inicial negativa en r . Sin embargo, también dice que la expansión que emana de pag puede volverse negativo en un momento posterior r asumiendo que R a b ξ a ξ b > 0 en r (como esperaría intuitivamente). Es de suponer que la expansión que emana de pag es positivo (que alguien me corrija si no), por lo que parece estar en contradicción directa con (1). ¿Lo que da?

Respuestas (1)

Para un ejemplo simple, considere el espacio-tiempo vacío, curvo como si un planeta estuviera centrado en el origen. Considere una capa esférica de polvo que también está centrada en el origen, inicialmente expandiéndose. Las líneas de tiempo de las motas de polvo son las geodésicas temporales en la congruencia. La expansión es inicialmente positiva, pero si la velocidad inicial hacia afuera no es demasiado grande, entonces la expansión del caparazón finalmente se ralentizará hasta cero, después de lo cual comenzará a encogerse (expansión negativa).

Esto no contradice (1), porque (1) es solo una desigualdad, no una ecuación. La desigualdad (1) se deriva de la ecuación de Raychaudhuri, que es

(2) d θ d τ = − 1 3 θ 2 − σ a b σ a b + ω a b ω a b − R a b ξ a ξ b .
Esta es la ecuación (9.2.11) en el libro de Wald. Para el ejemplo simple que acabo de describir, la rotación ω a b y cizalla σ a b son ambos cero debido a la simetría esférica del escenario, por lo que la ecuación (2) se reduce a
(3) d θ d τ = − 1 3 θ 2 − R a b ξ a ξ b .
Inicialmente, la expansión de nuestro caparazón es positiva: θ > 0 . Gracias a la condición de energía fuerte, ambos términos del lado derecho de (3) son negativos, por lo que la ecuación (3) dice que la magnitud de la expansión disminuye. Eventualmente, la tasa de expansión llega a cero ( θ = 0 ), de modo que el primer término del lado derecho es cero. Pero el segundo término del lado derecho sigue siendo negativo , por lo que la ecuación dice que θ continúa disminuyendo, convirtiéndose así en negativo, exactamente como dice nuestra intuición física.

La desigualdad (1) se deriva del hecho de que la ecuación (3) implica la desigualdad

(4) d θ d τ ≤ − 1 3 θ 2 .
La clave es que se trata de una desigualdad , no de una ecuación. Proviene de la ecuación (3), que es perfectamente consistente con nuestra intuición física de que una expansión inicialmente positiva puede eventualmente volverse negativa.

Esto tiene mucho sentido, gracias. Ahora veo por qué R a b ξ a ξ b debe ser mayor que cero en al menos un punto a lo largo de la geodésica, para permitir que la d θ / d τ inclinarse hacia lo negativo cuando θ = 0 . Parece que estaba siendo demasiado descuidado con mi uso de (1). Traté de dejar el R a b ξ a ξ b como un término constante en (3), lo que da una solución para θ ( τ ) eso parece como 1 / broncearse ⁡ ( τ + C ) , que por supuesto satisface la desigualdad y se vuelve negativa. Así que parece que todos mis problemas están resueltos, ¡muchas gracias!
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