Desviación geodésica entre partículas de prueba de onda gravitacional

Tengo problemas para entender cómo Carroll ( Spacetime and Geometry, p.296) explica el efecto de una onda gravitacional que pasa sobre las partículas de prueba.

Si tenemos dos geodésicas con tangentes$\vec{U}$,$\vec{U'}$que comienzan paralelas y próximas entre sí, y$\vec{S}$es un vector que conecta una geodésica con otra con valores de parámetros afines iguales, entonces la ecuación de la desviación geodésica es:

$$\begin{align*} \frac{D^2}{d\tau^2}S^\mu = R_{\ \ \nu\rho\sigma}^\mu U^\nu U^\rho S^\sigma. \tag{7.103} \end{align*}$$ Trabajamos en el límite de campo débil y el calibre transversal sin rastro. Si asumimos que nuestras partículas en las geodésicas se mueven lentamente, entonces $$\vec{U} \approx (1,0,0,0),\tag{7.104}$$ entonces: $$\begin{align*} \frac{D^2}{d\tau^2}S^\mu = R_{\ \ 00\sigma}^\mu S^\sigma.\tag{*} \end{align*}$$ Ahora, lo que no entiendo es cómo Carroll puede convertir la derivada covariante doble de la izquierda en una derivada doble simple con respecto a $t$: $$\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2}S^\mu = R_{\ \ 00\sigma}^\mu S^\sigma.\tag{**} \end{align*}$$ El razonamiento de Carroll es que "para nuestras partículas que se mueven lentamente tenemos$\tau = x^0 = t$al orden más bajo" , pero no sé lo que quiere decir. Simplemente no entiendo por qué los símbolos de Christoffel desaparecen en las derivadas covariantes. He leído varios libros sobre esto. Algunos dicen que los símbolos de Christoffel desaparecen porque trabajamos en un marco inercial local Pero entonces, ¿por qué el tensor de Riemann en el RHS también desaparece?