Me preguntaba sobre lo siguiente:
Si tiene la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo tal que
donde el potencial también depende del tiempo. ¿Cuál es la estrategia general para resolver esto? ¿Separación de variables o hay mejores técnicas disponibles? Especialmente si . Por ejemplo, si conoce la solución a
En primer lugar, hay algunos problemas con un potencial dependiente del tiempo, . Es decir, si aplicamos el teorema de Noether, es posible que no se aplique la conservación de la energía. Específicamente, si bajo una traducción,
el lagrangiano cambia por no más de una derivada total, entonces se aplicará la conservación de la energía, pero esto restringe la posible , dependiendo del sistema.
A menudo tratamos cada ecuación de Schrödinger caso por caso, ya que un determinado sistema puede prestarse a un enfoque diferente, por ejemplo, el oscilador armónico se resuelve fácilmente empleando el formalismo de los operadores de creación y aniquilación. Si consideramos un potencial dependiente del tiempo, la ecuación generalmente viene dada por,
Dependiendo de , se puede emplear la transformada de Laplace o Fourier. Otro enfoque, como lo menciona Jonas, es la teoría de la perturbación, mediante la cual aproximamos el sistema como un sistema más simple y calculamos aproximaciones de mayor orden para el sistema totalmente perturbado.
Ejemplo
Como ejemplo, considere el caso , en cuyo caso la ecuación de Schrödinger se convierte en,
Podemos tomar la transformada de Fourier con respecto a , en vez de , para ingresar al espacio de frecuencia angular:
que, si se conocen las condiciones iniciales, es una ecuación diferencial de segundo orden potencialmente simple, a la que luego se puede aplicar la transformada inversa de Fourier a la solución.
No conozco ninguna receta general. Si la parte dependiente del tiempo de es débil, se puede aplicar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo (TDPT) para calcular las correcciones a la solución no perturbada e independiente del tiempo. Esto debería estar contenido en cualquier libro sobre mecánica cuántica. De esta manera, también se pueden calcular las probabilidades y tasas de transición. Específicamente para perturbaciones periódicas, esto lleva a la regla de oro de Fermi, que a menudo se puede aplicar sin pasar por toda la maquinaria de TDPT.
Wang Xin
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jamals
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