Solución débil de la ecuación de Schrödinger

Question

Solución débil de la ecuación de Schrödinger

amito

Considere una partícula en una caja $\Lambda = [0, L]$ . La función de onda $\psi \in L_D^2(\Lambda)$ dónde $D$ denota una condición de Dirichlet $\psi(0)=0=\psi(L)$ . Tenemos, entonces

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}} = mi ψ

$- \frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E \psi$

dentro de la caja. Resolviendo esta ecuación,

ψ_{metro} (X) = \sqrt{2 / L} pecado (norte π X / L) .

$\psi_{m}(x) = \sqrt{2/L} \sin(n\pi x/L).$

Ahora considere una formulación débil de este problema:

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{0}^{L} \frac{d ψ}{d X} \frac{d φ}{d X} d X = mi \int_{0}^{L} ψ φ d X

$\frac{\hbar^{2}}{2m} \int_{0}^{L} \frac{d\psi}{dx} \frac{d\varphi}{dx} dx = E \int_{0}^L \psi \varphi dx$

de modo que $\varphi \in H^1_0(\Lambda)$ . ¿Es posible encontrar una solución analítica para esta ecuación? Si es así, ¿cómo se puede proceder para encontrar soluciones de formulaciones débiles en general?

Valter Moretti

¿Qué significa para

L_{D}^{2} (Λ)

$L^2_D(\Lambda)$ ? ¿Es diferente de

L^{2} (Λ)

$L^2(\Lambda)$ ? Las condiciones de contorno no modifican el espacio de Hilbert...

amito

Es solo que la función de onda está en

L^{2} (Λ)

$L^2(\Lambda)$ y

ψ

$\psi$ tiene condiciones de Dirichlet

ψ (0) = 0 = ψ (L)

$\psi(0)=0=\psi(L)$ . Así que solo digo eso

ψ

$\psi$ es en

L^{2}

$L^{2}$ en el intervalo

Λ

$\Lambda$ y

ψ (0) = 0 = ψ (L)

$\psi(0)=0=\psi(L)$ .

Valter Moretti

Desde

ψ

$\psi$ se define hasta el conjunto de medida cero no significa mucho. No hay un espacio de Hilbert hecho de funciones que se anulan en el límite de un intervalo. En cambio, las condiciones de contorno se pueden usar para definir el dominio de su hamiltoniano...

Respuestas (1)

Solución débil de la ecuación de Schrödinger

¿Qué significa para $L^2_D(\Lambda)$ ? ¿Es diferente de $L^2(\Lambda)$ ? Las condiciones de contorno no modifican el espacio de Hilbert...
Es solo que la función de onda está en $L^2(\Lambda)$ y $\psi$ tiene condiciones de Dirichlet $\psi(0)=0=\psi(L)$ . Así que solo digo eso $\psi$ es en $L^{2}$ en el intervalo $\Lambda$ y $\psi(0)=0=\psi(L)$ .
Desde $\psi$ se define hasta el conjunto de medida cero no significa mucho. No hay un espacio de Hilbert hecho de funciones que se anulan en el límite de un intervalo. En cambio, las condiciones de contorno se pueden usar para definir el dominio de su hamiltoniano...

Valter Moretti · Answer 1

La regularidad elíptica implica que $\psi$ admite derivadas débiles de todo orden que son $L^2$ en la zona. Ahora, el lema de Sobolev implica que estas derivadas deben ser derivadas estándar. En resumen, cada solución débil es solo la solución estándar. $\psi_m$ .

Pero, ¿qué sucede si mi problema solo tiene soluciones débiles y obtengo una formulación débil como esa? ¿Es posible resolver ese tipo de problemas analíticamente?
Por lo general, las soluciones son solo débiles porque el dominio de los operadores no está hecho de funciones suaves cuando se toman como autoadjuntas. Sin embargo, si el potencial es relativamente regular, existen resultados conocidos (esencialmente un teorema de Weyl) que establecen que las funciones de onda son suaves fuera del conjunto de singularidades del potencial.
@Valter Moretti: ¿Le importaría publicar una referencia a ese teorema, por favor? Solo he encontrado el de la ecuación de Laplace.

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amito

Valter Moretti

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usuario510186

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