Prueba de la propiedad de los números complejos

Question

Prueba de la propiedad de los números complejos

desigualdad
Matemáticas
números complejos

Shinsekai no Kami

es la desigualdad $\lvert z_1 + z_2 \rvert \ge \lvert z_1 \rvert - \lvert z_2 \rvert$ incorrecto, donde $z_1$ y $z_2$ ¿Hay dos números complejos? Necesito un ejemplo para demostrar que lo es. Y en caso de que sea correcto, ¿puede dar la prueba? Gracias por cualquier ayuda.

Respuestas (3)

Prueba de la propiedad de los números complejos

szw1710 · Answer 1

Esta desigualdad es siempre cierta. Se sigue fácilmente por la desigualdad del triángulo.

Empezar con

| z_{1} | \leq | z_{1} - (- z_{2}) | + | - z_{2} | .

$\vert z_1\vert\le\bigl\vert z_1-(-z_2)\bigr\vert+\left\vert-z_2\right\vert\;.$

@Philippe Malot, gracias por cambiar "a" por "the". Pero cuando edites LaTeX, no toques las matemáticas. Quería tener mi publicación exactamente en el formulario que escribí. Yo soy su autor, aquí solo eres el corrector.

A. Salguero-Alarcón · Answer 2

Es correcto. De la desigualdad:

| | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} - z_{2} |

$||z_1|-|z_2||\leq |z_1-z_2|$ si sustituyes

z_{2} = - z_{2}

$z_2=-z_2$ , usted obtiene:

| | z_{1} | - | - z_{2} | | \leq | z_{1} - (- z_{2}) | = | z_{1} + z_{2} |

$||z_1|-|-z_2||\leq |z_1-(-z_2)|=|z_1+z_2|$

y ahora, recuerda que $a\leq|a|$ por cada número real $a$ para concluir:

| z_{1} | - | z_{2} | \leq | | z_{1} | - | z_{2} | | \leq | z_{1} + z_{2} |

$|z_1|-|z_2|\leq||z_1|-|z_2||\leq |z_1+z_2|$

Cosrotash · Answer 3

Sabemos $\forall z_1,z_2 \in C:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$ (desigualdad triangular)

poner $z_1=z_1-z_2$

| (z_{1} - z_{2}) + z_{2} | \leq | (z_{1} - z_{2}) | + | z_{2} | | z_{1} | \leq | z_{1} - z_{2} | + | z_{2} | \to | z_{1} - z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |

$|(z_1-z_2)+z_2|\leq |(z_1-z_2)|+|z_2|\\|z_1|\leq |z_1-z_2|+|z_2| \to \\ |z_1-z_2|\geq |z_1|-|z_2|$ Usa este hecho

| a | | b | = | a b | \to | z_{2} | = (1) | z_{2} | = | - 1 | | z_{2} | = | - z_{2} |

$|a||b|=|ab| \to |z_2|=(1)|z_2|=|-1||z_2|=|-z_2|$ entonces

| z_{1} - (- z_{2}) | \geq | z_{1} | - | - z_{2} | \to | z_{1} + z_{2} | \geq | z_{1} | - | z_{2} |

$|z_1-(-z_2)|\geq |z_1|-|-z_2| \\\to \\ |z_1+z_2|\geq |z_1|-|z_2|$

Supongo $|(z_1-z_2)+z_2|\leq |(z_1-z_2)|+|z_2|$ implica $|z_1|\leq |z_1-z_2|+|z_2|$ y no $|-z_1|\leq |z_1-z_2|+|z_2|$ . ¿Estoy en lo correcto?

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A. Salguero-Alarcón

Cosrotash

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|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

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