¿Cómo combinar dos desigualdades (números complejos)?

Esto es de un libro. No entiendo cómo las desigualdades se combinan en una desigualdad. ¿Se suman/se restan?

z 1 y z 2 son números complejos. tenemos las desigualdades

| z 2 | − | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 |
| z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
La combinación de estas desigualdades da
| | z 1 | − | z 2 | | ≤ | z 1 − z 2 |

Intentar

Si los agrego:

| z 2 | − | z 1 | + | z 1 | − | z 2 | ≤ | z 2 − z 1 | + | z 1 − z 2 | 0 ≤ | z 2 − z 1 | + | z 1 − z 2 | 0 ≤ 2 | z 1 − z 2 |
O si los resto:
| z 2 | − | z 1 | − ( | z 1 | − | z 2 | ) ≤ | z 2 − z 1 | − ( | z 1 − z 2 | ) 2 | z 2 | − 2 | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 | − | z 1 − z 2 | 2 | z 2 | − 2 | z 1 | ≤ 0

¡Estoy atorado aqui!

Respuestas (3)

Para a , b ∈ R , se mantiene | a − b | = { b − a si  b ≥ a a − b si  a > b .

En el primer caso usas una desigualdad, en el otro usas la otra (obviamente, | z 1 − z 2 | = | z 2 − z 1 | ).

El sujeto dice números complejos.
@mvg Sí, pero solo necesita la versión real.
Debería haber pensado en esto por un segundo más antes de comentar. Sin embargo, sería interesante no confiar en este hecho conocido, sino solo en las propiedades dadas si es posible.
@MvG ¿Cómo es que la definición del valor absoluto de un número real no es una propiedad dada cuando aparece en el enunciado del problema?
@matemático El | z | en el problema está el módulo complejo z z ¯ , que, en principio, también se puede aplicar a números reales (también conocido como X 2 ).

Tenemos | X | ≤ y si y si − y ≤ X ≤ y y con

| z 2 | − | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 |
| z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
tener
− | z 1 − z 2 | ≤ | z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
si y si
| | z 1 | − | z 2 | | ≤ | z 1 − z 2 |

Pista:

| z 1 − z 2 | = | z 2 − z 1 |

¿No sería esto adecuado para un comentario? El OP pensó un poco, y un comentario tan breve en lugar de una explicación completa parece no cumplir con los requisitos de una Respuesta.
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