Determinación única de la multiplicación compleja

Question

Determinación única de la multiplicación compleja

Matemáticas
números complejos
análisis complejo

interrogativo

Encontré el siguiente problema y no tengo del todo claro exactamente lo que se supone que debo hacer:

Demuestre que las siguientes reglas determinan de manera única la multiplicación compleja en $\mathbb{C}=\mathbb{R^2}$ :

(a) $(z_1+z_2)w=z_1w+z_2w$

(b) $z_1z_2=z_2z_1$

(C) $i\cdot i=-1$

(d) $z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3$

(f) Si $z_1$ y $z_2$ Son reales, $z_1\cdot z_2$ es el producto usual de números reales.

Entiendo que (a) se refiere a la distributividad, (b) se refiere a la conmutatividad, (c) no estoy seguro de cuál es el objetivo (¿hay un nombre especial para esta propiedad?), (d) se refiere a la asociatividad y (e) se refiere a otra cosa.

Mirando (b), por ejemplo (con $z_1=a_1+b_1i$ y $z_2=a_2+b_2i$ ), Lo entiendo

\begin{aligned} z_{1} z_{2} & = (a_{1} + b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) \\ = (a_{1} a_{2} + a_{1} b_{2} i + b_{1} i a_{2} + b_{1} i b_{2} i) \\ = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i \end{aligned}

$\begin{align} z_1z_2 &= (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)\\[0.5em] &= (a_1a_2+a_1b_2i+b_1ia_2+b_1ib_2i)\\[0.5em] &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i \end{align}$ y

\begin{aligned} z_{2} z_{1} & = (a_{2} + b_{2} i) (a_{1} + b_{1} i) \\ = (a_{2} a_{1} + a_{2} b_{1} i + b_{2} i a_{1} + b_{2} i b_{1} i) \\ = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) i \end{aligned}

$\begin{align} z_2z_1 &= (a_2+b_2i)(a_1+b_1i)\\[0.5em] &= (a_2a_1+a_2b_1i+b_2ia_1+b_2ib_1i)\\[0.5em] &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i \end{align}$ Desde

Re (z_{1} z_{2}) = Re (z_{2} z_{1})

$\operatorname{Re}(z_1z_2)=\operatorname{Re}(z_2z_1)$ y

Im (z_{1} z_{2}) = Im (z_{2} z_{1})

$\operatorname{Im}(z_1z_2)=\operatorname{Im}(z_2z_1)$ , está claro que

z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}

$z_1z_2=z_2z_1$ . Pero, ¿qué muestra esto realmente? Parece que la pregunta pide más (algo sobre singularidad, etc.).

¿Algunas ideas?

mlu

(c) nos dice que i existe en este sistema numérico expandido, y es la raíz cuadrada de -1. Esto se usa para mostrar que

b_{1} i b_{2} i = - b_{1} b_{2}

$b_1 i b_2 i = - b_1 b_2$

interrogativo

Correcto, pero no estoy seguro de cómo eso me acerca al objetivo de demostrar que esas cinco reglas juntas determinan de manera única la multiplicación en

C

$\mathbb{C}$ . Supongo que la verdadera pregunta es: ¿Qué quiere decir el autor con "determinar de manera única"? Y es por eso que he venido aquí... para sugerencias. Realmente no tengo ni idea.

mlu

Usando solo estas reglas, y nada más que sepas sobre números complejos, puedes calcular el producto de dos números complejos. Así es como determinan de manera única la multiplicación compleja.

interrogativo

@mlu Eso parece plausible, pero estoy un poco confundido acerca de una cosa: ¿por qué necesitaría (c) para mostrar (b) cuando parece que se supone que debo proceder de manera lineal? Además, ¿por qué debería incluirse (d) si solo me preocupa calcular el producto de dos números complejos? Y el último problema no tiene mucho sentido para mí. Y para (a), supongo

w \in C

$w\in\mathbb{C}$ , pero parece que está implícito que

w \in R

$w\in\mathbb{R}$ .

C. Halcón

si uno te da

⋆ : C \times C \to C

$\star:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ una ley que satisface

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ y

(e)

$(e)$ , entonces

⋆

$\star$ es la multiplicación compleja. Esto es lo que tienes que probar tomando

z_{1} := a_{1} + i b_{1}, z_{2} := a_{2} + i b_{2} \in C

$z_1:=a_1+ib_1,z_2:=a_2+ib_2\in\mathbb{C}$ y computación

z_{1} ⋆ z_{2}

$z_1\star z_2$ . usando solo

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ y

(e)

$(e)$ , usted encontrará:

z_{1} ⋆ z_{2} = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) .

$z_1\star z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2).$ Tenga en cuenta que utilizará TODAS las suposiciones

(a), (b), (c), (d)

$(a),(b),(c),(d)$ y

(e)

$(e)$ en

⋆

$\star$ .

interrogativo

@ C.Falcon ¿Cómo se usa (d) en lo que mostraste? Supongo que se usa "más o menos" cuando se factoriza el

i

$i$ en mis cálculos en mi pregunta principal? Eso es,

(b_{2} i) a_{1} = b_{2} (i a_{1})

$(b_2i)a_1=b_2(ia_1)$ y, cuando se combina con la conmutatividad, me permite hacer todo lo que hice. ¿Tiene sentido?

C. Halcón

Si haces los cálculos paso a paso, usarás

(d)

$(d)$ , especialmente al factorizar

i

$i$ como dijiste.

interrogativo

@ C.Falcon Bien, eso tiene sentido. Parece que el objetivo general es mostrar que

C

$\mathbb{C}$ es cerrado con respecto a la multiplicación. Interesante manera de hacerlo. ¡Gracias por la ayuda!

C. Halcón

Por cerrado bajo la multiplicación, quieres decir si

w, z \in C

$w,z\in\mathbb{C}$ entonces

w \times z \in C

$w\times z\in\mathbb{C}$ ? En mi opinión, el objetivo es mostrar que no se puede definir otra multiplicación razonable (que satisfaga las propiedades dadas) en

C

$\mathbb{C}$ que el ya definido.

Respuestas (2)

Determinación única de la multiplicación compleja

(c) nos dice que i existe en este sistema numérico expandido, y es la raíz cuadrada de -1. Esto se usa para mostrar que $b_1 i b_2 i = - b_1 b_2$
Correcto, pero no estoy seguro de cómo eso me acerca al objetivo de demostrar que esas cinco reglas juntas determinan de manera única la multiplicación en $\mathbb{C}$ . Supongo que la verdadera pregunta es: ¿Qué quiere decir el autor con "determinar de manera única"? Y es por eso que he venido aquí... para sugerencias. Realmente no tengo ni idea.
Usando solo estas reglas, y nada más que sepas sobre números complejos, puedes calcular el producto de dos números complejos. Así es como determinan de manera única la multiplicación compleja.
@mlu Eso parece plausible, pero estoy un poco confundido acerca de una cosa: ¿por qué necesitaría (c) para mostrar (b) cuando parece que se supone que debo proceder de manera lineal? Además, ¿por qué debería incluirse (d) si solo me preocupa calcular el producto de dos números complejos? Y el último problema no tiene mucho sentido para mí. Y para (a), supongo $w\in\mathbb{C}$ , pero parece que está implícito que $w\in\mathbb{R}$ .
si uno te da $\star:\mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ una ley que satisface $(a),(b),(c),(d)$ y $(e)$ , entonces $\star$ es la multiplicación compleja. Esto es lo que tienes que probar tomando $z_1:=a_1+ib_1,z_2:=a_2+ib_2\in\mathbb{C}$ y computación $z_1\star z_2$ . usando solo $(a),(b),(c),(d)$ y $(e)$ , usted encontrará: $z_{1} ⋆ z_{2} = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) .$ $z_1\star z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+b_1a_2).$ Tenga en cuenta que utilizará TODAS las suposiciones $(a),(b),(c),(d)$ y $(e)$ en $\star$ .
@ C.Falcon ¿Cómo se usa (d) en lo que mostraste? Supongo que se usa "más o menos" cuando se factoriza el $i$ en mis cálculos en mi pregunta principal? Eso es, $(b_2i)a_1=b_2(ia_1)$ y, cuando se combina con la conmutatividad, me permite hacer todo lo que hice. ¿Tiene sentido?
Si haces los cálculos paso a paso, usarás $(d)$ , especialmente al factorizar $i$ como dijiste.
@ C.Falcon Bien, eso tiene sentido. Parece que el objetivo general es mostrar que $\mathbb{C}$ es cerrado con respecto a la multiplicación. Interesante manera de hacerlo. ¡Gracias por la ayuda!
Por cerrado bajo la multiplicación, quieres decir si $w,z\in\mathbb{C}$ entonces $w\times z\in\mathbb{C}$ ? En mi opinión, el objetivo es mostrar que no se puede definir otra multiplicación razonable (que satisfaga las propiedades dadas) en $\mathbb{C}$ que el ya definido.

mlu · Answer 1

z_{1} z_{2} = (a_{1} + b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) = (regla a)

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = \text{(rule a)}$

a_{1} (a_{2} + b_{2} i) + (b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) = (regla b)

$a_1(a_2 + b_2 i) + (b_1 i)(a_2 + b_2 i) = \text{(rule b)}$

(a_{2} + b_{2} i) a_{1} + (a_{2} + b_{2} i) (b_{1} i) = (regla a)

$(a_2 + b_2 i) a_1 + (a_2 + b_2 i)(b_1 i) = \text{(rule a)}$

a_{2} a_{1} + (b_{2} i) a_{1} + a_{2} (b_{1} i) + (b_{2} i) (b_{1} i) = (regla d)

$a_2 a_1 + (b_2 i) a_1 + a_2 (b_1 i) + (b_2 i)(b_1 i) = \text{(rule d)}$

a_{2} a_{1} + (b_{2} a_{1}) i + (a_{2} b_{1}) i + ((b_{2} i) b_{1}) i = (regla b)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1) i + (a_2 b_1) i + ((b_2 i)b_1) i = \text{(rule b)}$

a_{2} a_{1} + i (b_{2} a_{1}) + i (a_{2} b_{1}) + ((i b_{2}) b_{1}) i = (regla a y d)

$a_2 a_1 + i(b_2 a_1) + i(a_2 b_1) + ((i b_2)b_1) i = \text{(rule a and d)}$

a_{2} a_{1} + i (b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) + (i (b_{2} b_{1})) i = (regla b)

$a_2 a_1 + i(b_2 a_1 + a_2 b_1) + (i (b_2 b_1)) i = \text{(rule b)}$

a_{2} a_{1} + (b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) i + ((b_{2} b_{1}) i) i = (regla d)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + ((b_2 b_1) i) i = \text{(rule d)}$

a_{2} a_{1} + (b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) i + (b_{2} b_{1}) (i i) = (regla c)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + (b_2 b_1) (i i) = \text{(rule c)}$

a_{2} a_{1} + (b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) i + (b_{2} b_{1}) (- 1) = (regla e)

$a_2 a_1 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i + (b_2 b_1) (-1) = \text{(rule e)}$

a_{2} a_{1} - b_{1} b_{2} + (b_{2} a_{1} + a_{2} b_{1}) i

$a_2 a_1 - b_1 b_2 + (b_2 a_1 + a_2 b_1)i$

Me gusta el flujo de esto, pero los comentarios secundarios son un poco confusos para mí... parece que los estás usando para decir: "Esta regla se aplica para obtener lo que sigue". Por ejemplo, en la primera línea hace referencia a (a) aunque el producto es simplemente por la definición de números complejos, pero sí usa (a) para pasar de la primera a la segunda línea. Y así sucesivamente y así sucesivamente. ¿Tiene sentido? Aparte de eso, tiene mucho sentido para mí!
las reglas dadas son las que se usan para llegar a la siguiente línea (por eso se colocan entre el = y la siguiente línea, tal vez deberían estar encima del signo =).
Aparte, ¿alguna vez ha considerado usar el alignentorno o la \tagfunción? Bastante útil para ese tipo de cosas. De todos modos, gracias por la ayuda!

alex prevost · Answer 2

Bueno, usando solo las reglas dadas, denotando el producto complejo con $\cdot$ , podemos decir que para cualquier número complejo $z = a + i \cdot b$ y $w = c + i\cdot d$ , debemos tener (usando $(d)$ siempre que haya términos que impliquen al menos dos multiplicaciones y escribir $a \cdot b \cdot c$ para $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c)$ ):

\begin{aligned} z \cdot w & = (a + i \cdot b) \cdot (C + i \cdot d) \\ = a \cdot (C + i \cdot d) + i \cdot b \cdot (C + i \cdot d) usando un) \\ = (C + i \cdot d) \cdot a + (C + i \cdot d) \cdot i \cdot b usando (b) \\ = C \cdot a + i \cdot d \cdot a + C \cdot i \cdot b + i \cdot d \cdot i \cdot b usando un) \\ = C \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot C \cdot b + i \cdot i \cdot d \cdot b usando (b) \\ = C \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot C \cdot b - d \cdot b usando (c) \\ = C \cdot a - d \cdot b + i \cdot (d \cdot a + C \cdot b) usando un) \\ = C a - d b + i \cdot (d a + C b) usando (e), denotando multiplicación real por yuxtaposición \end{aligned}

$\begin{align*} z\cdot w &= (a+i\cdot b)\cdot (c+i\cdot d) \\ &= a \cdot (c+i\cdot d) + i\cdot b \cdot (c+i\cdot d) \quad \text{using (a)} \\ &= (c+i\cdot d) \cdot a + (c+i\cdot d)\cdot i\cdot b \quad \text{using (b)} \\ &= c\cdot a + i\cdot d \cdot a + c \cdot i\cdot b + i\cdot d \cdot i\cdot b \quad \text{using (a)} \\ &= c \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot c \cdot b + i \cdot i \cdot d \cdot b \quad \text{using (b)} \\ &= c \cdot a + i \cdot d \cdot a + i \cdot c \cdot b - d \cdot b \quad \text{using (c)} \\ &= c \cdot a - d \cdot b + i \cdot (d \cdot a + c \cdot b)\quad \text{using (a)} \\ &= c a - d b + i \cdot (d a + c b)\quad \text{using (e), denoting real multiplication by juxtaposition} \\ \end{align*}$

Entonces, la multiplicación compleja está determinada únicamente por estas reglas.

Es interesante que haya elegido multiplicar desde la izquierda en el primer paso en lugar de hacerlo desde la derecha (usando (a)). Pero es conmutativo, por lo que realmente no importa (o tal vez simplemente ya no tenga sentido).
@interrogative Tienes razón, no estaba prestando atención y, sin darme cuenta, me salté la mecánica de "cambiar, luego distribuir, luego volver a cambiar" porque, como dices, las cosas son conmutativas.

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