¿Construyendo una ruta conectada explícita para coeficientes de polinomios mónicos con raíces en el semiplano izquierdo abierto?

Si$e_0, e_1, ... ,e_n$denote los polinomios simétricos elementales en$n$variables, obtenemos un mapa continuo

Puedes interpretar$\sigma(\zeta)$como los coeficientes de un polinomio mónico$p_\zeta(z)$de grado$n$teniendo como raíces los componentes$z_i$de$\zeta =(z_1,\ldots,z_n)$, donde una raíz de multiplicidad$k$Ocurre$k$-veces en esta secuencia. De hecho,$p_\zeta(z) = \pi(\sigma(\zeta)) = \prod_{i=1}^n(z-z_i)$dónde$\pi$fue introducido en la pregunta.

Tenemos$E = \sigma(\Delta^n)$. Esto significa que el conjunto$E$podría definirse alternativamente sin referencia a polinomios mónicos y sus raíces. Dejar$s : \Delta^n \to E$denota la restricción.

Ahora depende de lo que entiendas por "construir explícitamente algún camino desde$a$a$b$". Tu encuentras$a', b' \in \Delta^n$tal que$s(a') = a, s(b') = b$. Definir$u : [0,1] \to \Delta^n, u(t) = (1-t)a' + tb'$. Este es un camino que conecta$a'$y$b'$, por lo tanto$s \circ u$es un camino que conecta$a$y$b$. Sin embargo, no es obvio cómo encontrar$a',b'$. No existe un método general para expresar$a',b'$como una función de$a,b$y en ese sentido$a',b'$no se puede hacer explícito (si pudiera, tendría una fórmula de solución para polinomios de grado arbitrario$n$que en realidad sólo existe para$n \le 4$).

Consideremos finalmente el mapa$\sigma$. Para cada$\eta \in \mathbb{C}^n$la imagen inversa$\sigma^{-1}(\eta)$consta de todo$\zeta = (z_1,....z_n)$tal que el$\{ z_1,....z_n \}$es el conjunto de todas las raíces de$\pi(\eta)$. Por eso$\sigma$es sobreyectiva. Además, el grupo simétrico$S_n$de$n$elementos opera por permutación de coordenadas en$\mathbb{C}^n$; las fibras$\sigma^{-1}(\eta)$de acuerdo con las órbitas de esta operación. Por lo tanto$\sigma$induce una biyección$\sigma': \mathbb{C}^n/S_n \to \mathbb{C}^n$.

Mostramos que$\sigma$es un mapa cerrado. Se sabe que$\max\{1, \lvert a_{n-1} \rvert, ... , \lvert a_0 \rvert \} = \lVert(1,a_{n-1},\ldots,a_0) \rVert_\infty$es un límite superior para los valores absolutos de las raíces de$z^n + a_{n-1}z^{n+-1} + ... + a_1z + a_0$( El límite de Cauchy ). Esto implica que$\sigma^{-1}(B)$está acotado si$B \subset \mathbb C^n$está ligado. Ahora deja$A \subset \mathbb{C}^n$estar cerrado y$(\eta_m)$ser una secuencia en$\sigma(A)$convergiendo a algunos$\eta \in \mathbb{C}^n$. Entonces$Y = \{ \eta_m \mid m \in \mathbb{N} \}$está acotado, por lo tanto$Z = \sigma^{-1}(Y)$está ligado. Elegir$\zeta_m \in A$tal que$\sigma(\zeta_m) = \eta_n$. Desde$\zeta_m \in Z$, vemos eso$(\zeta_m)$es una sucesión acotada y tiene una subsucesión convergente con límite$\zeta$. Desde$A$está cerrado,$\zeta \in A$. Por continuidad de$\sigma$Concluimos$\eta \in \sigma(A)$.

Esto implica que$\sigma$es un mapa de identificación. Por lo tanto, si damos$\mathbb{C}^n/S_n$la topología del cociente inducida por la función del cociente canónico$\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n/S_n$, vemos eso$\sigma'$es un homeomorfismo.