Supongamos que V,WV,WV, W están cerrados en XXX y que V∩W,V∪WV∩W,V∪WV\cap W, V\cup W están conectados. Demuestre que VVV y WWW están conectados.

Suponer que$V, W$están cerrados en$X$y eso$V\cap W, V\cup W$estan conectados. Muestra esa$V$y$W$estan conectados.

Mi intento:

Suponer que$V=U_1\cup U_2$dónde$U_i$están abiertos en$V$, no vacío y$U_1\cap U_2=\emptyset$. Esto induce una separación de$V\cap W$:

• $U_i\cap W$está abierto en$V\cap W$

• $(U_1\cap W)\cup (U_2\cap W)=\emptyset$de lo contrario$U_1\cap U_2 \ne \emptyset$.

• Ahora, necesito mostrar que ambos conjuntos no están vacíos. Lo sabemos$V\cup W$está conectado y cerrado en$X$. Entonces, para todos$x\in V\cup W=U_1\cup U_2\cup W$y todos los barrios$Z$(en$X$!) de$x$tenemos eso$Z\cap (V\cup W) \ne \emptyset$. Podemos elegir$x\in U_1 \subseteq V\cup W$. Pero entonces tendría que encontrar un barrio de$x$en$X$. No puedo encontrar uno... ¿Cómo puedo completar este punto?

Gracias.