X,Y ~ Unif(0,1) no necesariamente independiente, ¿puede P(X+Y>1)>1/2?

He aquí un intento, que sugiere que para todos$\epsilon > 0$en realidad se puede acoplar de tal manera que

$$\mathbb{P}(X + Y > 1) = 1 - \epsilon.$$ Tenga en cuenta primero que $$\mathbb{P}(X + Y > 1) = \mathbb{P}(X > 1 - Y)$$ y eso$Z := 1-Y$es también una variable aleatoria uniforme otra$[0,1]$. Por lo tanto, podemos reducir el problema al acoplamiento de$(X,Z)$tal que $$\mathbb{P}(X > Z) > \frac{1}{2}.$$ Dicho de esta manera, en realidad es fácil. Llevar$Z$uniforme en$[0,1]$y establecer $$X = Z + \epsilon \quad (\text{mod} 1).$$ Entonces sí$Z < 1 - \epsilon$,$X > Z$. Esto ocurre con probabilidad$1 - \epsilon$.

EDITAR: Aquí está la solución.

Dejar$U$ser uniforme sobre$[0,1]$, colocar$Y = 1-U$,$X = U + \epsilon \quad (\text{mod} 1)$. Tenga en cuenta primero que$X$y$Y$tener los márgenes deseados. Entonces$X = U + \epsilon$en el evento$U \le 1 - \epsilon$. Por lo tanto

$$\mathbb{P}(X + Y > 1) \le \mathbb{P}(X + Y > 1, U < 1 - \epsilon) =$$ $$= \mathbb{P}(U + \epsilon + (1 - U) > 1, U < 1 - \epsilon) =$$ $$=\mathbb{P}(U < 1 - \epsilon) = 1 - \epsilon.$$ Como se mencionó anteriormente, esto es mucho mejor que el$\frac{1}{2}$límite mencionado en la pregunta original, ya que en realidad cualquier valor en$(0,1)$Puede ser obtenido.

Creo que la idea de @Jean Marie de brindar una solución visual es genial. Sin embargo, creo que una ``versión discreta'' más cercana de la respuesta se puede ver en la rutina 4x4, lo que creo que aclararía las cosas.

De hecho, solo necesita completar los primeros cuadros sobre la diagonal y la esquina inferior izquierda. Aquí hay una vista para una cuadrícula de 4x4:

Y aquí está para la cuadrícula de 5x5:

Claramente, ambas variables aleatorias son uniformes (tenemos 1 cuadrado lleno por línea y uno por columna). Además, el único cuadrado lleno de tal manera que$X+Y \le 1$representa$1/n$del área coloreada, cuando consideramos un$n \times n$red. Por lo tanto, podemos encontrar una descomposición arbitrariamente cercana a$1$jugando con$n$.

Me gustaría presentar aquí una familia de soluciones que considero (quizás apresuradamente...) como una versión discreta del método utilizado por @Gâteau-Gallois. Esta presentación se basará en la representación gráfica del pdf conjunto$f_{(X,Y)}$, representado en esta figura como una superficie$z=f_{(X,Y)}(x,y)$en el caso de una subdivisión del cuadrado$[0,1] \times [0,1]$en un$3 \times 3$red:

Fig. 1: Caso de un$3 \times 3$cuadrícula: El pdf conjunto con 5 cuboides siguiendo un patrón de escalera + un cuboide aislado; la idea es que la mayor parte de la "masa" se agrupa a lo largo de la diagonal con ecuación$x+y=1$.

La parte verde (no fijéis las caras verticales) es una "meseta" situada en altura$z=\frac32$para que el volumen total bajo la superficie sea$\frac69 \times \frac32 = 1$. Está claro que los marginales son uniformes.

Un pequeño cálculo muestra que:

$$\mathbb{P}(X+Y>1)=\frac{7}{12} \approx 0.583$$

que es más grande que$\frac12$, dando una primera respuesta explícita a su pregunta. Pero hay más que decir. Vea abajo.

Observación: Los marginales$X$y$Y$no son independientes. Aquí hay un contraejemplo:$\mathbb{P}(X>2/3)=\mathbb{P}(Y>2/3)=\frac13 \ $, mientras$\ \mathbb{P}(X>2/3 \ \text{and} \ (Y>2/3))=0 \ \ne \ \mathbb{P}(X>2/3).\mathbb{P}(Y>2/3)$.

Ahora, construyamos otros archivos PDF en el mismo modelo: en lugar de un$3 \times 3$cuadrícula, se puede tomar una$4 \times 4$cuadrícula en la que se colocan 8 cuboides: 7 de ellos en un patrón de escalera siguiendo la diagonal con ecuación$x+y=1$y un octavo cuboide aislado cerca del origen. En este caso se obtiene:

$$\mathbb{P}(X+Y>1)=\frac58 = 0.625$$

lo cual es una mejora sobre el valor anterior.

De forma más general, se puede tomar una$n \times n$subdivisión que tiene la misma estructura ($2n-1$cuboides en el patrón de la escalera +$1$paralelepípedo aislado cerca del origen), dando el valor general:

$$\text{general} \ n \times n \ \text{case}: \ \ \mathbb{P}(X+Y>1)=\dfrac{3n-2}{4n}$$

que tiende a$\dfrac{3}{4}$cuando$n \to \infty$. y no a$1$.

Como conclusión, aunque este caso general puede considerarse como una versión discreta del método utilizado por @Gâteau-Gallois (con$\varepsilon = \frac1n$), es imposible obtener de esta manera un valor para$\mathbb{P}(X+Y>1)$ arbitrariamente cerca de$1$... lo que me da algunas dudas sobre la conclusión de Gâteau-Gallois : me gustaría "ver/comprender" las "formas" de los pdf conjuntos asociados a estos casos en los que$\mathbb{P}(X+Y>1)$está arbitrariamente cerca de$1$.

Editar: he entendido, gracias a la segunda versión de la respuesta de Gâteau-Gallois, el origen de la discrepancia entre mis resultados y los suyos.