¿Cuál es la probabilidad de que la moneda se lance tres veces?

Vale la pena hacer el esfuerzo de calcular la probabilidad a través de la definición de probabilidad condicional en los primeros ejemplos.

$$Pr(A\mid B):=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}$$

Dejar$B$Sea el evento de que la primera moneda lanzada al aire no sea cara ( es decir, la primera moneda lanzada al aire resulte cruz ).

Dejar$A$Sea el evento de que la moneda se lanza exactamente tres veces.

Nos encargamos de calcular$Pr(A\mid B)$, la probabilidad de que la moneda se lance exactamente tres veces dado que en el primer lanzamiento no salió cara.

Podemos dibujarnos un diagrama de árbol o como queramos llegar a la siguiente tabla de resultados y probabilidades respectivas:

$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Outcome}&\text{Probability}\\\hline H&\frac{1}{2}\\\hline TH&\frac{1}{4}\\\hline TTH&\frac{1}{8}\\\hline TTT&\frac{1}{8}\\\hline\end{array}$$

Vale la pena tomarse un momento para comprobar que esto tiene sentido como una distribución de probabilidad verificando que las probabilidades suman exactamente uno. En efecto$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$es igual$1$.

El evento de que el primer lanzamiento no sea cara corresponde a todos los resultados enumerados anteriormente excepto al primero y, por lo tanto, ocurre con probabilidad$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$así que aprendemos que$Pr(B)=\frac{1}{2}$.

El evento de que el primer lanzamiento no sea cara y tome tres lanzamientos en total corresponde a los dos últimos resultados en la tabla anterior y por lo tanto ocurre con probabilidad$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$así que aprendemos que$Pr(A\cap B)=\frac{1}{4}$.

Juntando esta información, obtenemos:

$$Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\cap B)}{Pr(B)}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}$$