¿Justificación matemática para incorporar un evento condicional en la expectativa?

Question

¿Justificación matemática para incorporar un evento condicional en la expectativa?

Matemáticas
probabilidad
variables aleatorias
expectativa condicional

jII

Dejar $X_1,X_2,\dots$ ser variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Además, considere la suma

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte}

$Y = X_1 + X_2 + \dots + X_N$ donde el número de términos

N

$N$ es en sí misma una variable aleatoria, independiente de la

X_{i}

$X_i$ , todo definido en el espacio de probabilidad de muestra.

Dado este preámbulo, el texto que estoy leyendo afirma lo siguiente

\begin{aligned} mi [Y | norte = norte] & = mi [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte} | norte = norte] \\ = mi [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte} | norte = norte] \\ = mi [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte}] \end{aligned}

$\begin{align} E[Y|N=n] &= E[X_1+X_2+\dots+X_N|N=n] \\ &=E[X_1+X_2+\dots+X_n|N=n] \\ &=E[X_1+X_2+\dots+X_n] \end{align}$

Si bien entiendo la segunda y la tercera igualdad desde una perspectiva intuitiva (sabemos $N=n$ , por lo que esta información se puede incorporar al número de términos de la suma), ¿cómo se puede derivar esto matemáticamente o de una manera más pedante/rigurosa usando las leyes de probabilidad? ¿Necesitamos considerar la distribución conjunta de los $X_i$ y $N$ ? Cualquier idea sería apreciada.

Respuestas (2)

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graham kemp · Answer 1

Dejar $I_k(n) = \begin{cases} 1 & : k\in \{1.. n\}\\ 0 & : \text{elsewhere}\end{cases}$

Entonces $Y = \sum_{k=1}^\infty X_k\; I_k(N)$

\begin{aligned} mi (Y ∣ norte = norte) & = mi (\sum_{k = 1}^{\infty} X_{k} I_{k} (norte) ∣ norte = norte) \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} mi (X_{k} I_{k} (norte) ∣ norte = norte) & linealidad de la expectativa \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} mi (X_{k} mi (I_{k} (norte) ∣ norte = norte)) & independencia de rv \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} mi (X_{k} I_{k} (norte)) \\ = mi (\sum_{k = 1}^{\infty} X_{k} I_{k} (norte)) \\ = mi (\sum_{k = 1}^{norte} X_{k}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathsf E(Y\mid N=n) & = \mathsf E( \sum_{k=1}^\infty X_k \;I_k(N) \mid N=n) \\ & = \sum_{k=1}^\infty \mathsf E(X_k \;I_k(N)\mid N=n) & \text{linearity of expectation} \\ & = \sum_{k=1}^\infty \mathsf E(X_k \;\mathsf E(I_k(N)\mid N=n)) & \text{independence of r.v.} \\ & = \sum_{k=1}^\infty \mathsf E(X_k I_k(n)) \\ & = \mathsf E(\sum_{k=1}^\infty X_k I_k(n)) \\ & = \mathsf E(\sum_{k=1}^n X_k) \\ \end{align}$

Esta es una respuesta genial. En particular, expresando la variable aleatoria $g(N) = I_k(N)$ , y la igualdad en el paso 3, fueron profundamente perspicaces.

usuario76844 · Answer 2

Dejar $S(N)=\sum_{i=1}^{\infty} X_i\mathbf{1}_{\leq N}(i)\implies E[S(N)|N]=N\mu$ , dónde $\mu=E[X_i]$

Por lo tanto, $E[S(N)|N]$ es simplemente una función de $N$ . Una vez que establecemos $N=n$ , hemos especificado completamente la función, al igual que $f(x)|_{x=2}$ tiene un valor definido.

Creo que tienes un error en la primera línea, ya que $E[S(N)] = E[N]E[X]$ . Aunque estoy de acuerdo en que $E[S(N)|N]=N\mu$ .
@jesterII estaba tratando $E[S(N)]$ como una variable aleatoria. $E[S(N)|N]$ sería más exacto. Correcto. Espero que mi definición de $S(X)$ muestra cómo se puede llegar a su expectativa.

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