¿Por qué necesitamos una secuencia de variables aleatorias? ¿No es suficiente una función?

En el marco estándar, un solo resultado$\omega \in \Omega$en un espacio de probabilidad determina los valores de todas las variables aleatorias$X_1(\omega), X_2(\omega), ...$que ha definido en el sistema. Pero su idea de "repetir el experimento" y "usar la misma función" se puede hacer dentro de este marco utilizando el espacio del producto :

Suponga que comienza con un (pequeño) espacio de probabilidad$(\Omega, \mathcal{F}, P)$en el que se encuentra una variable aleatoria$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$que tiene una Gaussiana$N(0,1)$FCD.

Una forma de "repetir el experimento un número infinito de veces" pero para mantener nuestra visión correcta de la probabilidad es definir un nuevo (gran) espacio de probabilidad$(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$que es lo suficientemente grande como para caber todo lo que queremos:

$$\begin{align} &\tilde{\Omega} = \Omega \times \Omega \times \Omega \times ...\\ &\tilde{\mathcal{F}} = \mathcal{F}\otimes \mathcal{F} \otimes \mathcal{F} \otimes. ... \end{align}$$ y donde nuestros nuevos resultados$\tilde{\omega} \in \tilde{\Omega}$tener la forma: $$\tilde{\omega} = (\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...)$$ dónde$\omega_i \in \Omega$para todos$i\in \{1, 2, 3, ...\}$. Ahora la nueva medida de probabilidad$\tilde{P}:\tilde{\mathcal{F}}\rightarrow\mathbb{R}$se construye a partir de la antigua$P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R}$como la única medida que satisface $$\begin{align} &\tilde{P}[\{\tilde{\omega} \in \tilde{\Omega} : \omega_1 \in A_1, \omega_2 \in A_2, \ldots, \omega_n \in A_n\}] \\ &= \prod_{i=1}^n P[A_i] \end{align}$$ para todos los enteros positivos$n$y todo$A_1, ..., A_n \in \mathcal{F}$. Este nuevo espacio de probabilidad$(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$se llama el espacio del producto .

En este caso, puedes definir iid$N(0,1)$variables aleatorias$X_i:\tilde{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$usando la misma función original $X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$por

$$X_i(\tilde{\omega}) = X(\omega_i) \quad \forall \tilde{\omega} \in \tilde{\Omega}, \forall i \in \{1, 2, 3, ...\},$$ Es decir, para todos$\omega_i\in \Omega$y$i \in \{1, 2, 3, ...\}$: $$\boxed{X_i(\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...) = X(\omega_i)}$$ Para este gran espacio de probabilidad$(\tilde{\Omega}, \tilde{\mathcal{F}}, \tilde{P})$, la función$X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$es solo una función que se usa para construir las variables aleatorias$X_i$. La función$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ya no se puede ver como una "variable aleatoria" porque no está definida en$\tilde{\Omega}$.

No veo cómo esto haría alguna diferencia.

Creo que se debe principalmente a la notación y la historia. la notación$a_i$, usado para indicar una secuencia de valores concretos, ya existía, y cuando la gente formalizaba variables aleatorias simplemente generalizaba el concepto. Donde, como no estoy familiarizado con ninguna notación para "el primer valor generado a partir de una variable aleatoria$X$", "el segundo valor generado a partir de una variable aleatoria$X$", ... "el$n$valor generado a partir de una variable aleatoria$X$".

Me pregunto si vienes de un entorno de programación de computadoras, donde hay algún costo para crear una "variable aleatoria", por lo que parece un desperdicio usarlo una vez y luego tirarlo. Además, la programación de la computadora es (generalmente) secuencial, por lo que solo puede generar una muestra a la vez. Pero en matemáticas, puede pensar fácilmente en una secuencia completa de variables aleatorias y "generar" una sola muestra de todas ellas a la vez. Además, la idea de que usted "genera" valores ni siquiera existe realmente en el formalismo matemático; podemos pensar en los valores como si "ya estuvieran allí", pero que tienen una distribución particular.