Encuentra VarVar\operatorname{Var} del número de vértices aislados

Desde el fraph completo conectado con$n$los vértices eligen el subgrafo$G = G (n, p)$de tal manera que cada arista se seleccione de forma independiente con una probabilidad de$p$o no seleccionados con una probabilidad de$1 - p$. Para el gráfico resultante G encuentre$\operatorname{Var}$del número de vértices aislados.

Mi intento:

Dejar$X_j$ser una variable aleatoria para la cual si$X_j = 1$entonces$v_j$está aislado De lo contrario$X_j=0$

$$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(\sum_{v}X_v) = E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) - E^2 (\sum_v X_v)$$
Ok, entonces si se trata de $$E^2 (\sum_v X_v)) = n^2 \cdot E^2(X_1) = n^2(1-p)^{2n-2}$$ Ahora$E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right)$: $$E\left(\left(\sum_vX_v\right)^2\right) = \left(E(X_1+ \cdots +X_n)^2\right) = E\sum_{u,v}X_uX_v = \\ \underbrace{E\sum_{u \neq v}X_uX_v}_{(*)} + \underbrace{E\sum_{u = v}X_uX_v}_{(**)}$$ y ahora por interpretación combinatoria$(*)$es$n(n-1)(1-p)^{2n-3}$. si se trata de$(**)$hay$n EX_1^2 = \color{red}{n(1-p)^{2n-2}}$

Así reuniéndonos todos: $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{2n-2}}$$ pero la respuesta correcta es $$-n^2 (1-p)^{2 n-2}+(n-1) n (1-p)^{2 n-3}+n (1-p)^{\color{red}{n-1}}$$ ¿Dónde fallé?