Componentes métricos dados por la ecuación de Einstein

Question

Componentes métricos dados por la ecuación de Einstein

RFeynman

En una región exterior sin materia a un agujero negro estacionario, esférico simétrico, donde la constante cosmológica no es cero. A partir de las ecuaciones estructurales de Cartan para el espacio sin torsión, obtenemos el siguiente tensor de Ricci distinto de cero:

R_{r 0} = 0 R_{00} = {mi}^{- (tu + V)} [\partial_{r} ({mi}^{(- V + tu)} \partial_{r} tu)] + \frac{2}{r} {mi}^{- 2 V} \partial_{r} tu R_{r r} = - {mi}^{- (tu + V)} [\partial_{r} ({mi}^{(- V + tu)} \partial_{r} tu] + \frac{2}{r} {mi}^{- 2 V} \partial_{r} V R_{θ θ} = R_{ϕ ϕ} = \frac{{mi}^{- 2 V}}{r} (\partial_{r} V - \partial_{r} tu) + \frac{1}{r^{2}} (1 - {mi}^{- 2 V})

$R_{r0} = 0 \\ R_{00} =e^{-(U + V)}[\partial_r ( e^{(-V + U)} \partial_rU)] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rU \\ R_{rr} = -e^{-(U+V)}[\partial_r(e^{(-V + U)} \partial_rU] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rV \\ R_{\theta \theta} = R_{\phi \phi} =\frac{e^{-2V}}{r}(\partial_rV - \partial_rU) + \frac{1}{r^2} (1 - e^{-2V})$

Luego me piden que encuentre los componentes de la métrica que resuelve las ecuaciones de Einstein y justo aquí estoy un poco atascado, puedo escribir la ecuación general de Einstein:

{GRAMO}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = R_{m v} - \frac{R}{2} {gramo}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = k T_{m v}

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu \nu}$

y luego, ¿cómo puedo encontrar los componentes de la métrica usando esto?

Editar:

Ecuación de Einstein corregida

Edit2:

Al volver a leer el ejercicio, noté que tenía más información que no escribí en esta publicación.

Los componentes de la métrica están dados por:

d s^{2} = {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v} = η_{m v} ω^{m} \otimes ω^{v}

$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \eta_{\mu \nu} \omega^{\mu} \otimes \omega^{\nu}$

y

\begin{aligned} ω^{0} = {mi}^{tu (r) d t} \\ ω^{1} = {mi}^{V (r) d t} \\ ω^{θ} = r d θ \\ ω^{ϕ} = r pecado θ d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} \omega^0 = e^{U(r)dt} \\ \omega^1 = e^{V(r)dt} \\ \omega^{\theta} = rd\theta \\ \omega^{\phi} = r\sin\theta d\phi \end{align}$

A partir de esto puedo calcular la métrica y escribir:

{gramo}_{m v} = d i a gramo (- {mi}^{2 tu (r)}, {mi}^{2 V (r)}, r^{2}, r^{2} {pecado}^{2} θ)

$g_{\mu \nu} = diag(-e^{2U(r)}, e^{2V(r)}, r^2 , r^2 \sin^2 \theta)$

Entonces para el componente $00$ , nosotros escribimos:

R_{00} - \frac{R}{2} {gramo}_{00} + Λ {gramo}_{00} = 0 \Leftrightarrow R_{00} - \frac{{gramo}^{α β} R_{α β}}{2} {gramo}_{00} + Λ {gramo}_{00} = 0

$R_{00} - \frac{R}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{00} - \frac{g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0$

Andrés

Primero, lo que escribiste como las ecuaciones de Einstein no es correcto. Por definición ,

G_{μ ν} \equiv R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν}

$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Las ecuaciones de Einstein son entonces

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = κ T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , dónde

κ = 8 π G / c^{4}

$\kappa=8\pi G/c^4$ ,

Λ

$\Lambda$ es la constante cosmológica, y

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ es el tensor tensión-energía. Como estás trabajando en el vacío,

T_{μ ν} = 0

$T_{\mu\nu}=0$ , entonces las ecuaciones de Einstein son

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = 0

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)

Eletie

Estas son soluciones de vacío, por lo que en el RHS tenemos cero. Luego puede pasar por los componentes distintos de cero y resolver las funciones

U

$U$ y

V

$V$ . ¿Has probado esto ya?

Andrés

(...) En segundo lugar, en general, las ecuaciones de Einstein son un conjunto de PDE no lineales de segundo orden para la métrica. Sin embargo, dado que se trata de un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico, realmente terminará con una EDO en la que todo es una función de

r

$r$ solo. Así que quieres expresar las ecuaciones en una forma en la que se manifieste esta estructura. Como punto de partida, trate de escribir el

00

$00$ componente de las ecuaciones de Einstein explícitamente en términos de

U

$U$ y

V

$V$ . ¿Puedes ver cómo te da una ODE? Si eso funciona, intente hacer lo

0 i

$0i$ y

i j

$ij$ componentes

RFeynman

@Andrew Edité mi pregunta y escribí la ecuación que obtuve, pero todavía no parece ODE. Realmente no sé lo que me estoy perdiendo.

Andrés

@RFeynman Así que tomemos tu primera línea,

R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R + Λ g_{μ ν} = 0

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Entonces echemos un vistazo a la

00

$00$ componente,

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Queremos extraer una ecuación para

U

$U$ y

V

$V$ . Por lo tanto, debe enchufar el

00

$00$ componente de la métrica,

g_{00}

$g_{00}$ , el escalar de Ricci

R

$R$ , y el

00

$00$ componente del tensor de Ricci,

R_{00}

$R_{00}$ , en términos de

U

$U$ y

V

$V$ . En tu pregunta realmente tienes

R_{00}

$R_{00}$ ya. También debería poder escribir la métrica

d s^{2} = g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ Llegar

g_{00}

$g_{00}$ . El escalar de Ricci es

g^{μ ν} R_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .

Andrés

También tenga cuidado. En tu pregunta editada escribes

g^{μ ν} R_{μ ν} g_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Esta notación "no analiza": en la convención de suma de Einstein, los índices repetidos se suman. Un índice dado debe aparecer dos veces, una arriba y otra abajo, en cuyo caso se suma y es un índice ficticio. O , el índice debe aparecer una vez, ya sea arriba o abajo, en cuyo caso es un índice "libre" y no se suma. Una forma correcta de escribir este término es

g^{α β} R_{α β} g_{μ ν}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- hay una suma implícita sobre

α, β

$\alpha,\beta$ .

RFeynman

@Andrew Entonces, la ecuación para el componente 00 es esa, en la que tengo que sumar

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ ?

Andrés

El

00

$00$ el componente es

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Computar

R

$R$ , tienes que sumar

g^{α β} R_{α β}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ encima

α

$\alpha$ y

β

$\beta$ . Aquí, tenga en cuenta que

g^{α β}

$g^{\alpha\beta}$ es la métrica inversa , que es diferente de la métrica

g_{α β}

$g_{\alpha \beta}$ . Mientras tanto, ya has escrito una expresión para

R_{00}

$R_{00}$ en tu pregunta También deberías haber escrito una expresión para

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ en algún lugar , para haber calculado el tensor de Ricci; a partir de esta expresión, puedes obtener

g_{00}

$g_{00}$ así como la métrica inversa.

RFeynman

@Andrew Muchas gracias, ¡ahora entiendo! ¿Cómo puedo darte algo de karma?

Andrés

No te preocupes, me alegro de que hayas podido responder la pregunta por tu cuenta.

Respuestas (1)

Componentes métricos dados por la ecuación de Einstein

Primero, lo que escribiste como las ecuaciones de Einstein no es correcto. Por definición , $G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Las ecuaciones de Einstein son entonces $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , dónde $\kappa=8\pi G/c^4$ , $\Lambda$ es la constante cosmológica, y $T_{\mu\nu}$ es el tensor tensión-energía. Como estás trabajando en el vacío, $T_{\mu\nu}=0$ , entonces las ecuaciones de Einstein son $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)
Estas son soluciones de vacío, por lo que en el RHS tenemos cero. Luego puede pasar por los componentes distintos de cero y resolver las funciones $U$ y $V$ . ¿Has probado esto ya?
(...) En segundo lugar, en general, las ecuaciones de Einstein son un conjunto de PDE no lineales de segundo orden para la métrica. Sin embargo, dado que se trata de un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico, realmente terminará con una EDO en la que todo es una función de $r$ solo. Así que quieres expresar las ecuaciones en una forma en la que se manifieste esta estructura. Como punto de partida, trate de escribir el $00$ componente de las ecuaciones de Einstein explícitamente en términos de $U$ y $V$ . ¿Puedes ver cómo te da una ODE? Si eso funciona, intente hacer lo $0i$ y $ij$ componentes
@Andrew Edité mi pregunta y escribí la ecuación que obtuve, pero todavía no parece ODE. Realmente no sé lo que me estoy perdiendo.
@RFeynman Así que tomemos tu primera línea, $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Entonces echemos un vistazo a la $00$ componente, $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Queremos extraer una ecuación para $U$ y $V$ . Por lo tanto, debe enchufar el $00$ componente de la métrica, $g_{00}$ , el escalar de Ricci $R$ , y el $00$ componente del tensor de Ricci, $R_{00}$ , en términos de $U$ y $V$ . En tu pregunta realmente tienes $R_{00}$ ya. También debería poder escribir la métrica $ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ Llegar $g_{00}$ . El escalar de Ricci es $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .
También tenga cuidado. En tu pregunta editada escribes $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Esta notación "no analiza": en la convención de suma de Einstein, los índices repetidos se suman. Un índice dado debe aparecer dos veces, una arriba y otra abajo, en cuyo caso se suma y es un índice ficticio. O , el índice debe aparecer una vez, ya sea arriba o abajo, en cuyo caso es un índice "libre" y no se suma. Una forma correcta de escribir este término es $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- hay una suma implícita sobre $\alpha,\beta$ .
@Andrew Entonces, la ecuación para el componente 00 es esa, en la que tengo que sumar $\alpha$ y $\beta$ ?
El $00$ el componente es $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Computar $R$ , tienes que sumar $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ encima $\alpha$ y $\beta$ . Aquí, tenga en cuenta que $g^{\alpha\beta}$ es la métrica inversa , que es diferente de la métrica $g_{\alpha \beta}$ . Mientras tanto, ya has escrito una expresión para $R_{00}$ en tu pregunta También deberías haber escrito una expresión para $g_{\mu\nu}$ en algún lugar , para haber calculado el tensor de Ricci; a partir de esta expresión, puedes obtener $g_{00}$ así como la métrica inversa.
@Andrew Muchas gracias, ¡ahora entiendo! ¿Cómo puedo darte algo de karma?
No te preocupes, me alegro de que hayas podido responder la pregunta por tu cuenta.

RFeynman · Answer 1

Después de algunos consejos de @Andrew, pude resolver el ejercicio:

Empezamos escribiendo la ecuación de Einstein en el vacío ( $T_{\mu \nu} = 0$ ):

{GRAMO}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = R_{m v} - \frac{R}{2} {gramo}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = 0 \Leftrightarrow R_{m v} - \frac{{gramo}^{α β} R_{α β}}{2} {gramo}_{m v} + Λ {gramo}_{m v} = 0

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{\mu \nu} - \frac{g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0$

Luego, enchufamos el componente que queremos $\mu$ y $\nu$ , luego resolvemos una EDO para U y V y obtenemos los componentes de la métrica.

Editar:

Para encontrar la métrica inversa usamos, debido a que la métrica es diagonal:

{gramo}_{m v} = \frac{1}{{gramo}^{m v}}

$g_{\mu \nu} = \frac{1}{g^{\mu \nu}}$

Componentes métricos dados por la ecuación de Einstein

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Andrés

Eletie

Andrés

RFeynman

Andrés

Andrés

RFeynman

Andrés

RFeynman

Andrés

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RFeynman

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