Notación para generadores de grupos de traducción

Los generadores son vectores covariantes en el espacio-tiempo. Siguiendo a Ome, para representar los generadores de traslación por matrices, el espacio-tiempo es un espacio proyectivo 4-d donde los puntos son rayos$x^{i}\in V_{5}$con$i=0,1,2,3,4$. Supongamos que las coordenadas de Alice son$x^{i}$y los de Bob son$x'^{i}$y Alice se impulsa a lo largo del eje x positivo de Bob con un pequeño parámetro de impulso$\eta$. El impulso es,

$$x'^{0}=x^{0}+\eta x^{1}\\ x'^{1}=x^{1}+\eta x^{0}$$ lo que implica que el impulso es el elemento del álgebra de Lie, $$K^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{0}\delta^{1}_{j}+\delta^{i}_{1}\delta^{0}_{j}$$ porque, $$x'^{i}=x^{i}+\eta K^{i}_{\ j}x^{j} \ .$$ Las traducciones de Ome son, $$[P_{k}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{k}\delta^{4}_{j}$$ donde el $(-i)$se ha omitido el factor porque todo es clásico en la actualidad. Usando el conmutador de matriz para el soporte de mentira, $$[P_{1},K]=-P_{0}$$ la respuesta de $P_{1}$al impulso es, $$P'_{1}=P_{1}+\eta[P_{1},K]=P_{1}-\eta P_{0} \ .$$ Ahora compare esta ecuación con la respuesta de la coordenada espacio-temporal contravariante $x^{1}$en la segunda ecuación en la parte superior; cuando pensamos en $P_{1}$como vector en el espacio-tiempo, no se transforma como vector contravariante. Es fácil ver que se está transformando como un vector covariante en $V_{5}$. Entonces, los generadores de traducción son vectores covariantes en el espacio-tiempo $P_{i}\in\tilde{V}_{5}$.