tiene un número infinito de representaciones, clasificadas por el invariante de Casimiro .
también tiene un número infinito de representaciones, clasificadas por el invariante de Casimir .
Dado que las representaciones son difeomorfas si y solo si sus invariantes de Casimiro son iguales, estamos justificados en este método de clasificación.
En el caso de , la interpretación física es:
genera rotaciones del marco de reposo de la partícula.
, el espín total de una partícula, es la dimensión del espacio vectorial en el que hemos elegido incrustar la partícula.
Ahora estoy desconcertado por el hecho de que usamos , es decir giro total, para clasificar . ¡Ese es el grupo de mentiras equivocado! ¿Cómo no es esto una tontería?
es el invariante de Casimir correcto - ¿qué pasó con eso?
¿Por qué no es ¿suficiente? - ¡es un invariante de Casimir, por lo que debería darnos toda la información de clasificación (es decir, decirnos si las repeticiones son difeomorfas)!
Ahora, supongamos que hacemos las cosas correctamente (es decir, descartamos ) y use clasificar las representaciones.
¿Hay "fermiones" o "bosones" correspondientes a tomando valores de medio entero o entero en este caso?
Finalmente, la representación no es isomorfo a (porque es un invariante de Casimiro). Lo mismo con y . Sin embargo, en la mayoría de los libros de texto de teoría de campos, se trata como un caso. Todo es una gota para ellos. ¡¡¡¿Qué?!!!
El grupo de Poincaré tiene dos invariantes de Casimir, a saber y dónde
Cuando , tenemos la propiedad . Por lo tanto, los estados masivos están representados por su masa y su valor propio bajo que por la teoría de la representación de es para medio entero. Así, todas las representaciones masivas están etiquetadas por y . El giro la representacion es dimensional.
Cuando , generalmente hay dos posibilidades para .
Cuando , entonces se obtiene una representación de dimensión infinita que no se observa en la naturaleza (conocidas como representaciones de espín continuo) y, por lo tanto, no se consideran en física. Sin embargo, son precisamente estas representaciones las que dan lugar a la invariancia de medida en una teoría cuántica.
Cuando , entonces la consistencia con el álgebra de Poincaré implica que y la invariante de Casimiar es simplemente (o mejor ). Por lo tanto, los estados sin masa están etiquetados por su valor propio bajo lo que se conoce como la helicidad del estado.
En general, los estados sin masa se etiquetan con un solo número y tienen un dof Sin embargo, bajo paridad . Así, en cualquier teoría con invariancia de paridad, se debe definir una partícula como un estado con representación, dando así dos grados de libertad para cada partícula.