Intuición sobre la conservación del volumen en el espacio de fases (teorema de Liouville)

No es una demostración, pero quizás algo más visual que las otras respuestas correctas.

En lugar de estar en 2D como sugieres, intentemos ver qué sucede en 1D cuando las partículas se mueven "radialmente" hacia afuera de$x=0$. Las bolas verdes van hacia la izquierda con un impulso constante.$-p$y las bolas rojas van a la derecha con el mismo impulso absoluto$p$(Supongo que todos tienen la misma velocidad absoluta. El argumento es mucho más fácil de explicar de esta manera... Aunque estás pidiendo diferentes momentos...)

En el espacio de fase, esta configuración da en dos momentos diferentes:

El impulso no cambia ya que no hay fuerza (así que lo mismo$y$valor lo que sea$t$es) y la distancia entre dos bolas del mismo color (en el espacio real) será la misma en cualquier momento (la distancia entre mis 2 bolas verdes y mis 2 bolas rojas es$1$en mi horrible figura).

También traté de dibujar el área de la superficie (es decir, el volumen en$d>2$) en gris a la vez$t=0$y en un momento posterior$t=a$.

Ahora, el área de estos paralelogramos (el "volumen" delimitado por nuestras 4 bolas en$t=0$o$t=a$) es, por supuesto, la altura del paralelogramo por la longitud de su base. Es trivial ver que en la figura, ambos paralelogramos tienen entonces la misma área. Entonces, el volumen acotado por las 4 bolas es constante, aunque en el espacio real, las bolas se mueven en direcciones opuestas.

editar

También funciona en el caso de diferentes momentos (aunque es un poco más difícil de ver (cambié la posición de 2 bolas para que el cálculo del área sea más fácil)). Podríamos haber tomado un impulso absoluto diferente para cada partícula, pero perderíamos la simetría y, por lo tanto, sería difícil calcular el área (por ejemplo, tomar un impulso igual a 0, como sugieres, dificultaría la conservación del área). para ver visualmente).

No estoy seguro de entender sus comentarios, pero intentaré responder.

Sí, tracé puntos, pero no estamos hablando del volumen de estos puntos, estamos hablando del volumen delimitado por una nube de puntos (por lo que se requieren 3 puntos).

También podemos ver esta área como una densidad de probabilidad , por lo que incluso si en la mecánica clásica una partícula es delta de Dirac (no ocupa volumen) en el espacio de fase, no es realmente de lo que trata el teorema de Liouville (al menos al principio) . Por ejemplo, podemos decir que realmente no sabemos dónde está nuestra partícula (con volumen 0), pero estamos seguros de que está ubicada en un pequeño cuadrado (o paralelogramo) de área$A$en el espacio de fase con una probabilidad uniforme. Entonces, lo que podemos decir es que, después de algún tiempo, la partícula todavía estará ubicada dentro de una superficie de área$A$(pero no necesariamente un cuadrado).

Esta explicación no es muy general, pero sí útil.

Ahora, hablamos de conservación del volumen porque$dpdx$en el momento$t$es igual a$dxdp$en el momento$t'>t$. Esto es equivalente a la afirmación que mencioné anteriormente, a saber: la distribución de probabilidad es constante a lo largo (por lo tanto, siguiendo el fluido ) de una trayectoria clásica en el espacio de fase. Dónde$dx$y$dp$son las longitudes horizontal y vertical de tu elemento fluido (o tu nube de puntos, ya que son lo mismo).

Al final del día, todo lo que quiere es definir un volumen, ya sea una densidad de probabilidad con sus elementos fluidos mencionados en sus comentarios, o un área delimitada por puntos como en mis figuras, y mostrar que este volumen se conserva. El enfoque de densidad de probabilidad/fluido se entiende mejor utilizando$\frac{d\rho}{dt}=0$(ver la página wiki), mientras que el enfoque de volumen se entiende mejor al ver que$dx(t)dp(t)=dx(t+dt)dp(t+dt)$por la igualdad de la derivada mixta del hamiltoniano . Pero ambos son equivalentes.

Todavía hablando de su segundo comentario, aquí está el "enfoque fluido" (mis primeras cifras toman el enfoque de "volumen limitado por cada punto", pero repito que ambos son equivalentes)

Así que ahora, como usted propuso, tomamos 2 elementos fluidos en lugar de 1 para describir 4 partículas (podría ser problemático hacerlo, pero supongamos que no sucede nada demasiado grave en$t>0$).

Lo importante aquí es que, en$t = 0$no consideras que conoces perfectamente la posición de tus partículas, dices: bueno, tengo 2 partículas dentro de la elipse superior y 2 dentro de la elipse inferior, pero no sé dónde (defines una densidad de probabilidad$\rho$). Luego, procedes a mover todos los puntos dentro de estos volúmenes de acuerdo con sus correspondientes ecuaciones de movimiento. Esto da un nuevo volumen/área (en la figura, estas son las elipses más externas en$t=2$), estas nuevas nubes de puntos/nubes de partículas/densidades de probabilidad/elementos fluidos (que contienen 2 partículas cada una) tienen la misma área que la que empezamos. Tenga en cuenta que en este caso, ¡no nos importa el volumen entre los elementos fluidos!

Siento que me pasé por todas partes, por lo que puede que no sea muy comprensible, pero quería dar muchos ejemplos.

Consideremos una partícula en un espacio unidimensional; el caso general simplemente agrega más términos. El teorema establece que la densidad del espacio de fase satisface$\rho_t+p\rho_q=0$(He eliminado el último término a medida que conservas$p$, y la masa unitaria asumida por lo que$p=\dot{q}$). esto tiene solucion general$\rho=f(q-pt)$, que muestra la mancha (elemento fluido, paquete fluido, cualquier término que prefiera) en el espacio de fase se desplaza a la derecha a la velocidad$p$, pero no se deforma ni cambia de otro modo el volumen. (Tenga en cuenta también que este es un advectivo derivado $D_t\rho=0$, que tiene la misma intuición de "se mueve pero no cambia de forma" en la mecánica de fluidos).

Puede ayudar a su intuición si en lugar del concepto de 'partículas' piensa en términos del concepto de 'elemento fluido'. Un elemento fluido es un pequeño volumen de fluido, lo suficientemente pequeño como para que todo su contenido tenga la misma velocidad, y cuya masa se conserva a medida que evoluciona el fluido. Si lo desea, podría considerar que dicho elemento fluido contiene un número fijo de partículas. De todos modos, a medida que su ejemplo evolucione, encontrará que cada elemento fluido se dibuja en una línea que se vuelve más delgada a medida que se alarga. Esto es más fácil de ver para el movimiento en una dimensión en primera instancia (dando$(x,p_x)$espacio de fase) y luego puede intentar imaginarlo en más dimensiones, o simplemente confiar en el álgebra.

1. Bueno, el teorema de Liouville se puede formular como campos vectoriales hamiltonianos en el espacio de fase sin divergencia.

   Tratemos de descomprimir la afirmación anterior. Considere una parcela fluida infinitesimal de$m$puntos en el$2n$-espacio de fase dimensional (es decir, imagina que repetimos el mismo experimento$m$veces con condiciones iniciales ligeramente diferentes). Entonces el paquete de fluido tiene un volumen constante bajo la evolución del tiempo.

2. Considere por simplicidad una partícula libre. En$n=1$dimensión, las trayectorias en la fase 2D son entonces líneas horizontales, que están claramente libres de divergencia a pesar de los cambios de coordenadas de posición con el tiempo.

   Una partícula libre en dimensiones superiores$n>1$puede ser visto como un producto cartesiano de$n$Espacios de fase 2D. La evolución del tiempo es todavía libre de divergencias.