Teorema de Liouville y conservación del volumen del espacio de fase

La interacción de la teoría hamiltoniana y lagrangiana se basa en las siguientes identidades generales, donde$L$es la función lagrangiana del sistema,

$$\dot{q}^k = \frac{\partial H}{\partial p_k}\:,\qquad(1)$$ $$\frac{\partial L}{\partial q^k} = -\frac{\partial H}{\partial q^k}\:.\qquad(2)$$ Arriba, los lados derechos son funciones de $t,q,p$mientras que los lados LH son funciones de $t,q,\dot{q}$y los dos tipos de coordenadas se relacionan mediante la relación biyectiva suave (con inversa suave), $$t=t\:,\quad q^k=q^k\:,\quad p_k = \frac{\partial L(t,q,\dot{q})}{\partial \dot{q}^k}\:.\qquad(3)$$ Finalmente, la función hamiltoniana se define de la siguiente manera $$H(t,q,p) = \sum_{k}\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right|_{(t,q,\dot{q}(t,q,p))}\dot{q}(t,q,p) - L(t,q,\dot{q}(t,q,p))\:.$$ Supongamos que se cumplen los siguientes EL, $$\frac{d}{dq}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q^k} = Q_k(t,q,\dot{q})\:, \quad \frac{d q^k}{dt}= \dot{q}^k \quad (4)\:.$$ Las funciones $Q_k$tener en cuenta las fuerzas (por ejemplo, disipativas), que no pueden incluirse en el Lagrangiano. para un sistema de $N$puntos de materia con posiciones $\vec{x}_i$, si los grados de libertad del sistema están descritos por coordenadas $q^1,\ldots,q^n$tal que $\vec{x}_i= \vec{x}_i(t,q^1,\ldots,q^n)$, uno tiene: $$Q_k = \sum_{i=1}^N \frac{\partial \vec{x}_i}{\partial q^k} \cdot \vec{f_i}$$ $\vec{f}_i$siendo la fuerza total, no descrita en el lagrangiano, actuando sobre el $i$punto.

Se prueba fácilmente que, en vista de las identidades generales (1) y (2), una curva$t \mapsto (t, q(t), \dot{q}(t))$satisface las ecuaciones EL (4), si y sólo si la curva correspondiente$t \mapsto (t, q(t), p(t))$(construido a partir del anterior a través de (3)), verifica las siguientes ecuaciones:

$$\frac{dq^k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}\:, \quad \frac{dp_k}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q^k} + Q_k\:.\quad(5)$$ En ausencia de los términos $Q_k$, estas son las ecuaciones estándar de Hamilton . Si $Q_k\equiv 0$, incluso si $H$dependen explícitamente del tiempo, las soluciones de las ecuaciones de Hamilton conservan, en el tiempo, el volumen canónico: $$dq^1 \wedge \cdots \wedge dq^n \wedge dp_1 \wedge \cdots \wedge d p_n\:.$$ En presencia de fuerzas disipativas que no pueden ser incluidas en el Lagrangiano, el término $Q_k$aparece y el volumen anterior generalmente no se conserva. Sin embargo, esta no es toda la historia. Consideremos el oscilador armónico amortiguado. En ausencia de fuerza disipativa, el lagrangiano lee $$L(x, \dot{x}) = \frac{m}{2} \dot{x}^2 -\frac{k}{2} x^2\:.$$ La fuerza disipativa $-\gamma \dot{x}$tiene lugar en las ecuaciones EL debido a la presencia del término: $$Q = - \gamma \dot{x}\:.$$ En esta coyuntura, pasando a la formulación hamiltoniana, el volumen canónico no se conserva a lo largo de las soluciones de la ecuación de movimiento. Sin embargo, ciñéndonos al oscilador amortiguado, hay una manera de incluir la fuerza disipativa en la función Lagrangiana. De hecho, este nuevo Lagrangiano produce la ecuación de movimiento correcta de un oscilador amortiguado $$L(t,q,\dot{q}) = e^{\gamma t/m}\left(\frac{m}{2} \dot{x}^2 -\frac{k}{2} x^2\right)\:.$$ En este caso la función hamiltoniana resulta ser $$H(t,q,p) = e^{-\gamma t/m}\frac{p^2}{2m} + e^{\gamma t/m}\frac{k}{2}x^2\:.$$ Como prueba la teoría general, el volumen canónico se conserva mediante las soluciones de las ecuaciones de Hamilton referidas a esa función hamiltoniana, independientemente del hecho de que el sistema sea disipativo.

Es importante notar que, con el segundo Lagrangiano,$p$deja de ser el impulso estándar$mv$diferente al primer caso.

Hay algo con lo que debes tener cuidado con respecto al teorema de Liouville. Si hay fuerzas dependientes del momento, entonces el teorema de Liouville cambia porque la densidad de fase ya no es incompresible.

Supongamos que definimos$f_{s}$=$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{p},t)$ $\equiv$la función de distribución de partículas de las especies$s$, que es no negativo, contiene una cantidad finita de materia, y existe en el espacio de tiempos positivos y$\mathbb{R}^{3}$y$\mathbb{R}_{\mathbf{p}}^{3}$, dónde$\mathbb{R}_{\mathbf{p}}^{3}$es el espacio de todos los vectores de momento. Otra forma de decir esto es que$f_{s}(\mathbf{x},\mathbf{p},t)$ $\equiv$densidad de partículas por unidad$d^{3}x$por unidad$d^{3}p$a la hora fija$t$.

Vemos que hay dos formas de interpretar$f$: (1) puede ser una aproximación de la verdadera densidad del espacio de fase de un gas (a gran escala en comparación con las separaciones entre partículas); o (2) puede reflejar nuestra ignorancia de las verdaderas posiciones y velocidades de las partículas en el sistema. La primera interpretación es determinista mientras que la segunda es probabilística. Esta última fue utilizada implícitamente por Boltzmann [por ejemplo, Villani, 2002, 2006].

La ecuación general de movimiento para el espacio de fase canónico,$(\mathbf{q},\mathbf{p})$, es dado por:

$$\frac{ \partial f }{ \partial t } = f \left[ \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{q} } \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \right) + \left( \frac{ \partial }{ \partial \textbf{p} } \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \right) \right] + \left[ \frac{ d\textbf{q} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{q} } + \frac{ d\textbf{p} }{ dt } \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \textbf{p} } \right]$$ Si simplificamos dejando términos dQ/dt $\rightarrow$ $\dot{Q}$y deja $\boldsymbol{\Gamma}$ $\equiv$ $(\mathbf{q},\mathbf{p})$, entonces nosotros tenemos: $$\begin{align} \frac{ \partial f }{ \partial t } & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} - \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \left( \dot{\boldsymbol{\Gamma}} f \right) \end{align}$$ y si definimos la derivada del tiempo total como: $$\frac{ d }{ dt } = \frac{ \partial }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} }$$ entonces podemos mostrar que la tasa de cambio en el tiempo de la función de distribución está dada por: $$\begin{align} \frac{ d f }{ dt } & = \frac{ \partial f }{ \partial t } + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - \left[ f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \right] + \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \cdot \frac{ \partial f }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \\ & = - f \frac{ \partial }{ \partial \boldsymbol{\Gamma} } \cdot \dot{\boldsymbol{\Gamma}} \\ & \equiv - f \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right) \end{align}$$ dónde $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$se denomina factor de compresión del espacio de fases [ Evans y Morriss, 1990]. Tenga en cuenta que estas ecuaciones son formas diferentes de la ecuación de Liouville, que se han obtenido sin referencia a las ecuaciones de movimiento y no requieren la existencia de un hamiltoniano.

Podemos reescribir la última expresión como:

$$\frac{ d }{ dt } \ln \lvert f \rvert = - \Lambda\left( \boldsymbol{\Gamma} \right)$$ que empieza a parecer más familiar a la forma típica del teorema de Liouville. Si uno puede derivar las ecuaciones de movimiento de un hamiltoniano, entonces $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$= 0, incluso en presencia de campos externos que actúan para alejar el sistema del equilibrio. Tenga en cuenta que la existencia de un hamiltoniano es una condición suficiente, pero no necesaria para $\Lambda ( \boldsymbol{\Gamma} )$= 0. Para el espacio de fase incompresible, recuperamos la forma simple de la ecuación de Liouville: $$\frac{ d f }{ dt } = 0$$ Sin embargo, el teorema de Liouville puede ser violado por cualquiera de los siguientes:

• fuentes o sumideros de partículas;
• existencia de fuerzas de colisión, disipativas u otras fuerzas que causen$\nabla_{\mathbf{p}}$ $\cdot$ $\mathbf{F}$ $\neq$0;
• límites que conducen a la captura o exclusión de partículas, de modo que solo partes de una distribución pueden mapearse de un punto a otro;
• falta de homogeneidad espacial que conduce al filtrado de la velocidad (p. ej., velocidades de deriva de partículas que impiden que partículas con velocidades más pequeñas alcancen la ubicación a la que habrían llegado si no se hubieran desplazado);
• variabilidad temporal en la fuente o en otro lugar que conduce a la observación no simultánea de trayectorias en direcciones opuestas;
• etc. [ Paschmann y Daly 1998].

Resumen
La existencia de fuentes o sumideros de partículas, fuerzas dependientes del momento, atrapamiento o exclusión, filtrado de velocidad, etc. pueden introducir compresibilidad en el espacio de fase y dar como resultado:

$$\frac{ d f }{ dt } \neq 0$$

Referencias

1. Evans, DJ y G. Morriss (1990), Statistical Mechanics of Nonequilibrium Liquids, 1.ª edición , Academic Press, Londres 1990.
2. Paschmann, G. y PW Daly (1998), Métodos de análisis para datos de naves espaciales múltiples. ISSI Scientific Reports Series SR-001, ESA/ISSI, vol. 1. ISBN 1608-280X, 1998, ISSI Sci. Rep. Ser., 1 .
3. Villani, C. (2002), Capítulo 2 Una revisión de temas matemáticos en la teoría cinética de colisiones, págs. 71-74, North-Holland, Washington, DC, doi:10.1016/S1874-5792(02)80004-0.
4. Villani, C. (2006), Producción de entropía y convergencia al equilibrio para la ecuación de Boltzmann, en XIV Congreso Internacional de Física Matemática , editado por J.-C. Zambrini, págs. 130-144, doi:10.1142/9789812704016_0011.

Entonces, me preguntaba si sigue siendo cierto incluso cuando el sistema es disipativo como un oscilador armónico amortiguado.

Es cierto si el sistema disipativo es hamiltoniano, es decir, si el comportamiento disipativo puede describirse mediante un hamiltoniano dependiente del tiempo. Por ejemplo, un oscilador conectado a millones de osciladores puede ser descrito por el hamiltoniano

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 - xF(t),$$ dónde $F(t)$es la fuerza que actúa sobre el oscilador debido a otros osciladores. función apropiada $F(t)$hará que el sistema se comporte de forma disipativa, pero como el sistema está descrito por hamiltoniano, el teorema de Liouville es válido.