Velocidad de grupo con pulso gaussiano

Question

Velocidad de grupo con pulso gaussiano

ondas
Física
velocidad
dispersión
Transformada de Fourier
deberes-y-ejercicios

arcoparque

Una onda de pulso gaussiana que se propaga en un medio no dispersivo con velocidad $v$ se puede expresar como

h (z, t) = {mi}^{- a (t - z / v)^{2}}

$h(z,t) = e^{-a(t - z / v)^2}$

como se sugiere en esta respuesta . En el caso de un medio dispersivo, su expresión variará (como también se especifica en la respuesta vinculada). Aquí hay un intento de derivar la nueva expresión para un medio con una relación de dispersión genérica $k = k(\omega)$ .

Para $z = 0$ :

h (t) = {mi}^{- a t^{2}}, H (ω) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{a}} {mi}^{- \frac{ω^{2}}{4 a}}

$h(t) = e^{-at^2}, H(\omega) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}}$

$h(z,t)$ se puede obtener mediante la siguiente Transformada de Fourier inversa, donde la fase de cada componente de frecuencia se desplaza por $k(\omega)z$ :

h (z, t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} H (ω) {mi}^{j ω t} {mi}^{- j k (ω) z} D ω

$h(z,t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} H(\omega) e^{j \omega t} e^{-j k (\omega) z} d\omega$

1) ¿Es correcto?

Con el supuesto de que el $H(\omega)$ es muy estrecho en $\omega$ , $k$ puede expresarse con su desarrollo de Taylor

k ≃ k (ω_{0}) + (ω - ω_{0}) {\frac{D k}{D ω} |}_{ω = ω_{0}} = k_{0} + ω k_{0}^{'}

$k \simeq k(\omega_0) + (\omega - \omega_0) \left. \frac{dk}{d\omega} \right|_{\omega = \omega_0} = k_0 + \omega k_0'$

donde $\omega_0 = 0$ y $(dk/d\omega)_{\omega = \omega_0} = k_0'$ . Entonces, la integral se convierte en

h (z, t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} H (ω) {mi}^{j ω t} {mi}^{- j k_{0} z} {mi}^{- j ω k_{0}^{'} z} D ω

$h(z,t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} H(\omega) e^{j \omega t} e^{-j k_0 z} e^{-j \omega k_0' z} d\omega$

h (z, t) = \frac{1}{4 \sqrt{π a}} {mi}^{- j k_{0} z} \int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{- \frac{ω^{2}}{4 a}} {mi}^{j ω t} {mi}^{- j ω k_{0}^{'} z} D ω

$h(z,t) = \frac{1}{4 \sqrt{\pi a}} e^{-j k_0 z} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\omega^2}{4a}} e^{j \omega t} e^{-j \omega k_0' z} d\omega$

2) Cómo proceder, para obtener explícitamente la velocidad de propagación a lo largo $z$ del pulso gaussiano?

Emilio Pisanty

la notación

j

$j$ por

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$ es sobre todo común en la ingeniería, por cierto. En física, el enfoque suele estar más en la parte espacial que en la temporal, por lo que se utiliza

e^{i k z}

$e^{ikz}$ y

e^{- i ω t}

$e^{-i\omega t}$ , pero afortunadamente la mayoría de las fórmulas se pueden traducir fácilmente usando

i = - j

$i=-j$ .

Respuestas (1)

Velocidad de grupo con pulso gaussiano

la notación $j$ por $\sqrt{-1}$ es sobre todo común en la ingeniería, por cierto. En física, el enfoque suele estar más en la parte espacial que en la temporal, por lo que se utiliza $e^{ikz}$ y $e^{-i\omega t}$ , pero afortunadamente la mayoría de las fórmulas se pueden traducir fácilmente usando $i=-j$ .

Emilio Pisanty · Answer 1

Sus manipulaciones son esencialmente correctas, pero podrían necesitar algunos ajustes en términos de algunos fragmentos de perspectiva. En general, es más útil considerar un pulso gaussiano con una frecuencia portadora distinta de cero, de la forma

\begin{matrix} (1) & h (z, 0) = A {mi}^{- z^{2} / 2 σ^{2}} porque (k_{0} z) = \frac{σ A}{2 \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- σ^{2} (k - k_{0})^{2} / 2} {mi}^{I k z} D k + CC, \end{matrix}

$h(z,0)=Ae^{-z^2/2\sigma^2}\cos(k_0z) =\frac{\sigma A}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma^2(k-k_0)^2/2}e^{ik z} \mathrm dk +\text{c.c.}, \tag1$ donde

c.c.

$\text{c.c.}$ significa el complejo conjugado del término anterior. Tenga en cuenta, en particular, dos cosas:

Comienzo con una condición inicial de espacio de posición, a diferencia de la condición de contorno de su ejemplo. Esto está más en línea con lo que hace en óptica, aunque si tiene ondas de radio, una fuente dependiente del tiempo puede ser más relevante como condición.
estoy usando el vector de onda $k$ como el bloque de construcción básico, y no $\omega$ . Esto ya es importante en 1D, porque me permite alcanzar vectores de onda tanto positivos como negativos, y se vuelve aún más importante en dimensionalidades más altas, ya que $\mathbf k$ será un vector y quiero acceder a todo el espacio para obtener la forma espacial de mis condiciones iniciales correctas.

Hecho esto, la descomposición $(1)$ me da mi pulso gaussiano como una superposición ponderada de ondas planas $e^{ikz}$ , y sé cómo evolucionarán con el tiempo: como

{mi}^{I (k z - ω (k) t)},

$e^{i(kz-\omega(k)t)},$ donde

v_{φ} = ω (k) / k

$v_\varphi=\omega(k)/k$ es la velocidad de fase de las ondas, que está fijada por la ecuación de onda y, en particular, por la dependencia de la longitud de onda del índice de refracción.

En cierto sentido, he terminado: la evolución temporal del pulso vendrá dada por

\begin{matrix} (2) & h (z, t) = \frac{σ A}{2 \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- σ^{2} (k - k_{0})^{2} / 2} {mi}^{I (k z - ω (k) t)} D k + CC, \end{matrix}

$h(z,t) =\frac{\sigma A}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma^2(k-k_0)^2/2}e^{i(kz-\omega(k)t)} \mathrm dk +\text{c.c.}, \tag2$ y no hay nada más que decir, sobre todo porque esto depende de

ω (k)

$\omega(k)$ de una manera que no se puede simplificar más sin un mayor conocimiento de esa relación de dispersión.

En el caso específico que plantea, desea considerar un pulso con un ancho de banda $1/\sigma$ que es lo suficientemente estrecho como para que la dispersión solo tenga suficiente espacio para mostrar una variación lineal:

ω (k) = ω (k_{0}) + (k - k_{0}) {\frac{D ω}{D k} |}_{k_{0}} + O (σ^{2} (k - k_{0})^{2}),

$\omega(k)=\omega(k_0)+(k-k_0)\left.\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}\right|_{k_0} + O\left(\sigma^2(k-k_0)^2\right),$ y despreciamos el término cuadrático. Cuando hacemos esto, obtenemos el término

v_{gramo} (k_{0}) = {\frac{D ω}{D k} |}_{k_{0}},

$v_g(k_0)=\left.\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}\right|_{k_0},$ lo que se conoce como velocidad de grupo , y es esta (y no la velocidad de fase) la que impulsará la velocidad de propagación del pulso. Si pones esta relación de dispersión en

(2)

$(2)$ , usted obtiene

\begin{matrix} (3) & h (z, t) = \frac{σ A}{2 \sqrt{2 π}} {mi}^{I (- ω (k_{0}) + k_{0} v_{gramo} (k_{0})) t} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- σ^{2} (k - k_{0})^{2} / 2} {mi}^{I k (z - v_{gramo} (k_{0}) t)} D k + CC, \end{matrix}

$h(z,t) =\frac{\sigma A}{2\sqrt{2\pi}}e^{i(-\omega(k_0)+k_0v_g(k_0))t}\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma^2(k-k_0)^2/2}e^{ik(z-v_g(k_0)t)} \mathrm dk +\text{c.c.}, \tag3$ y aquí puede ver que en realidad no tenemos ninguna dispersión significativa, ya que todo lo que hemos hecho es tomar la transformada de Fourier en

(1)

$(1)$ y cambio

z

$z$ por

z - v_{g} (k_{0}) t

$z-v_g(k_0)t$ : esto significa que tenemos

\begin{aligned} h (z, t) & = \frac{A}{2} {mi}^{I (- ω (k_{0}) + k_{0} v_{gramo} (k_{0})) t} {mi}^{I k_{0} (z - v_{gramo} (k_{0}) t)} {mi}^{- (z - v_{gramo} (k_{0}) t)^{2} / 2 σ^{2}} + CC \\ (4) & = \frac{A}{2} {mi}^{- (z - v_{gramo} (k_{0}) t)^{2} / 2 σ^{2}} porque (k_{0} (z - v_{gramo} (k_{0}) t) + (k_{0} v_{gramo} (k_{0}) - ω (k_{0})) t), \end{aligned}

$\begin{align} h(z,t) &=\frac{A}{2}e^{i(-\omega(k_0)+k_0v_g(k_0))t}e^{ik_0(z-v_g(k_0)t)}e^{-(z-v_g(k_0)t)^2/2\sigma^2}+\text{c.c.} \\& =\frac{A}{2}e^{-(z-v_g(k_0)t)^2/2\sigma^2}\cos(k_0(z-v_g(k_0)t)+(k_0v_g(k_0)-\omega(k_0))t), \tag4 \end{align}$ lo que esencialmente nos da el mismo perfil espacial, posiblemente con algunas oscilaciones temporales adicionales.

Esto significa, entonces, que si desea incluir algo de física dispersiva real, debe ir un paso más allá y debe llevar la relación de dispersión hasta el segundo orden inclusive, que ahora dice

\begin{aligned} ω (k) & = ω (k_{0}) + (k - k_{0}) {\frac{D ω}{D k} |}_{k_{0}} + \frac{1}{2} (k - k_{0})^{2} {\frac{D^{2} ω}{D k^{2}} |}_{k_{0}} + O (σ^{3} (k - k_{0})^{3}) \\ \approx ω (k_{0}) + (k - k_{0}) v_{gramo} (k_{0}) + \frac{1}{2} (k - k_{0})^{2} α_{2} (k_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} \omega(k) & =\omega(k_0)+(k-k_0)\left.\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}\right|_{k_0}+\frac12(k-k_0)^2\left.\frac{\mathrm d^2\omega}{\mathrm dk^2}\right|_{k_0} + O\left(\sigma^3(k-k_0)^3\right) \\& \approx\omega(k_0)+(k-k_0)v_g(k_0)+\frac12(k-k_0)^2\alpha_2(k_0). \end{align}$ (Aquí parece que estoy corriendo contra la convención, ya que tanto Wikipedia como RP Photonics tienen esta Dispersión de velocidad de grupo como un derivado contra

ω

$\omega$ , pero no estoy seguro de cómo se las arreglan con un vector

k

$\mathbf k$ en, por ejemplo, un medio no isotrópico. Para obtener más detalles, consulte su libro de texto de óptica local; lo que sigue es principalmente para el sabor.)

Si pones esto en la integral en $(2)$ , sigue siendo una integral gaussiana perfectamente factible, pero por supuesto ahora también tenemos tiempo en el término cuadrático

\begin{matrix} (5) & h (z, t) = \frac{σ A}{2 \sqrt{2 π}} {mi}^{I (k_{0} v_{gramo} (k_{0}) - ω (k_{0})) t} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- \frac{1}{2} (σ^{2} - I α_{2} (k_{0}) t) (k - k_{0})^{2}} {mi}^{I k (z - v_{gramo} (k_{0}) t)} D k + CC, \end{matrix}

$h(z,t) =\frac{\sigma A}{2\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0v_g(k_0)-\omega(k_0))t}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac12\left(\sigma^2-i\alpha_2(k_0)t\right)(k-k_0)^2}e^{ik(z-v_g(k_0)t)} \mathrm dk +\text{c.c.}, \tag5$ y esto cambia el aspecto de la transformada de Fourier:

\begin{aligned} (6) & h (z, t) = \frac{A}{2} \sqrt{\frac{σ^{2}}{σ^{2} + I α_{2} (k_{0}) t}} {mi}^{I (k_{0} v_{gramo} (k_{0}) - ω (k_{0})) t} {mi}^{I k_{0} (z - v_{gramo} (k_{0}) t)} Exp (- \frac{z^{2} / 2}{σ^{2} + I α_{2} (k_{0}) t}) + CC \end{aligned}

$\begin{align} h(z,t) =\frac{ A}{2}\sqrt{\frac{\sigma^2}{\sigma^2+i\alpha_2(k_0)t}}e^{i(k_0v_g(k_0)-\omega(k_0))t} e^{ik_0(z-v_g(k_0)t)} \exp\left(-\frac{z^2/2}{\sigma^2+i\alpha_2(k_0)t}\right) +\text{c.c.} \tag6 \end{align}$ Aquí, como puede ver, no hay una factorización inmediata en un coseno y una gaussiana, pero puede obtener una con algunas manipulaciones menores, esencialmente multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador de la gaussiana: puede establecer

Exp (- \frac{z^{2} / 2}{σ^{2} + I α_{2} (k_{0}) t}) = Exp (- \frac{1}{2} \frac{σ^{2} - I α_{2} (k_{0}) t}{σ^{4} + α_{2} (k_{0})^{2} t^{2}} z^{2}),

$\exp\left(-\frac{z^2/2}{\sigma^2+i\alpha_2(k_0)t}\right) = \exp\left(-\frac12\frac{\sigma^2-i\alpha_2(k_0)t}{\sigma^4+\alpha_2(k_0)^2t^2}z^2\right),$ y asigne la parte oscilatoria, como

e^{+ i (\cdot) z^{2}}

$e^{+i(\cdot)z^2}$ , en el coseno, lo que te da

\begin{aligned} h (z, t) & = \frac{A / 2}{\sqrt{1 + I α_{2} (k_{0}) t / σ^{2}}} Exp (- \frac{z^{2} / 2}{σ^{2} + α_{2} (k_{0})^{2} t^{2} / σ^{2}}) \\ (6) & \times Exp (+ I (k_{0} (z - v_{gramo} (k_{0}) t) + \frac{1}{2} \frac{α_{2} (k_{0}) t}{σ^{4} + α_{2} (k_{0})^{2} t^{2}} z^{2} + (k_{0} v_{gramo} (k_{0}) - ω (k_{0})) t)) + CC \end{aligned}

$\begin{align} h(z,t) & =\frac{A/2}{\sqrt{1+i\alpha_2(k_0)t/\sigma^2}} \exp\left(-\frac{z^2/2}{\sigma^2+\alpha_2(k_0)^2t^2/\sigma^2}\right) \\& \quad \times \exp\left(+i\left( k_0(z-v_g(k_0)t) +\frac12\frac{\alpha_2(k_0)t}{\sigma^4+\alpha_2(k_0)^2t^2} z^2 +(k_0v_g(k_0)-\omega(k_0))t \right)\right) +\text{c.c.} \tag6 \end{align}$ Desafortunadamente, esto es probablemente lo más lejos que pueden llegar los análisis, debido a la parte imaginaria en la raíz cuadrada, aunque si estás dispuesto a hacer algo de álgebra fea, probablemente haya algo más que puedas hacer.

Sin embargo, desde el punto de vista de la física, básicamente has terminado, y las partes importantes ya están integradas en el término cuadrático dentro del exponencial oscilatorio. Para ver su efecto, lo más simple es graficar esto y soltarlo:

^{Código de Mathematica a través de Importación[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/B1AA9.png "]}

Este es realmente el núcleo de lo que la dispersión (lineal) le hará a un pulso, y se presenta en dos aspectos importantes:

Lo más importante es que el pulso emite un chirrido : es decir, los componentes de mayor frecuencia se empujan hacia el frente del pulso y la longitud de onda local en la parte posterior del pulso se alarga. Esta es una consecuencia natural de la dispersión, que en su esencia simplemente dice 'las ondas planas de diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades'; aquí puedes ver esas ondas planas desincronizándose entre sí a medida que avanzan.
Como corolario de eso, el pulso se estira temporalmente, porque sus componentes en diferentes longitudes de onda ya no coinciden bien. Esta es otra consecuencia natural de la dispersión, y puede ser un fastidio si lo que buscas es un pulso muy corto. Afortunadamente, sin embargo, se puede deshacer fácilmente, simplemente pasándolo a través de un elemento óptico similar con la dispersión de retardo del grupo opuesto, como se hace con gran efecto en la amplificación de pulso chirrido .

Eso es probablemente suficiente por ahora, así que lo dejaré así ;-).

Usted dio una gran respuesta, gracias. A pesar de la demora, traté de leerlo cuidadosamente. Una primera pregunta sobre tu texto: en un principio, ¿por qué te planteas una $\mathrm{c.c.}$ término a sumar a la integral? En su lugar, debería haber otra integral con $e^{- \frac{\sigma^2 (k + k_0)^2}{2}}$ .
@BowPark Son (lo más probable) uno y el mismo, relacionado a través del cambio de variable $k\mapsto -k$ . Sin embargo, existe la posibilidad de que me haya equivocado con el álgebra. Verifíquelo y hágamelo saber.

Velocidad de grupo con pulso gaussiano

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Emilio Pisanty

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