Considere una ola

$$A = \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)} \ dk,$$

dónde$a(k)$es la amplitud del k-ésimo número de onda, y$\omega=\omega(k)$es la frecuencia, relacionada con$k$a través de una relación de dispersión. Tenga en cuenta que si quisiéramos rastrear una onda, con el número de onda$k$, con fase constante, veríamos que esto ocurre cuando$kx=\omega t$, es decir$x/t = \omega/k = c$, con$c$el$\textbf{phase}$velocidad.

Nos gustaría saber la velocidad a la que la envolvente$|A|$esta viajando.

Para$\textbf{narrow banded}$ondas, la frecuencia angular$\omega$se puede aproximar a través de la expansión de Taylor alrededor de un número de onda central$k_o$, es decir

$$\omega(k) = \omega(k_o) + \frac{\partial \omega}{\partial k} (k-k_o) + \mathcal{O}((k-k_o)^2),$$

donde la escala del ancho de banda se cuantifica por el pequeño parámetro$(k-k_o)$. Por lo tanto, podemos reescribir$A$como

$$A \approx e^{-i(\omega(k_o)t-k_o\frac{\partial \omega}{\partial k}t)} \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{ik(x-\frac{\partial \omega}{\partial k} t)} \ dk.$$

Por lo tanto

$$|A| = \left| \int_{-\infty}^{\infty} a(k) e^{ik(x-\frac{\partial \omega}{\partial k} t)} \ dk \right|,$$

que dice que el sobre,$|A|$, viaja a gran velocidad$\frac{\partial \omega}{\partial k}$, es decir

$$|A(x,t)| = |A(x-c_g t,0)|,$$ donde hemos definido $$c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}.$$

La velocidad del grupo tiene un significado dinámico, ya que es la velocidad a la que viaja la energía.

Definiciones

Antes de comenzar, debemos definir algunos términos y parámetros/funciones que se utilizarán más adelante:

Número de onda: $\equiv$efectivamente el número de crestas de onda (es decir, anti-nodo del máximo local) por unidad de longitud$\leftrightharpoons$``densidad'' de ondas$\rightarrow$ $\boldsymbol{\kappa}$ $=$ $\boldsymbol{\kappa}\left(\omega,\textbf{x},t\right)$en general

Frecuencia de onda: $\equiv$efectivamente el número de crestas de olas que cruzan la posición$\mathbf{x}$por unidad de tiempo$\leftrightharpoons$``flujo'' de ondas$\rightarrow$ $\omega$ $=$ $\omega\left(\boldsymbol{\kappa},\textbf{x},t\right)$en general

Fase de onda: $\equiv$posición en un ciclo de onda entre una cresta y un valle (es decir, anti-nodo del mínimo local)$\rightarrow$ $\phi$ $=$ $\phi\left(\textbf{x},t\right)$en general

Fase y Continuidad

Entonces, podemos definir una solución elemental a las ecuaciones de ondas periódicas como:

$$\psi\left( \mathbf{x}, t \right) = \mathcal{A} \ e^{ {\displaystyle i\left( \boldsymbol{\kappa} \cdot \mathbf{x} - \omega t \right) } }$$ dónde $\mathcal{A}$es la amplitud de la onda y, en general, puede ser una función de $\boldsymbol{\kappa}$y/o $\omega$, pero supondremos constante por ahora. Supongamos que una relación de dispersión , $\omega$ $=$ $\mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \textbf{x}, t \right)$, existe y puede resolverse para raíces reales positivas. En general, habrá múltiples soluciones a la relación de dispersión, donde cada solución se denomina modo diferente . El término en el exponente se conoce como fase de onda , dado por: $$\phi\left( \mathbf{x}, t \right) = \boldsymbol{\kappa}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right) \cdot \mathbf{x} - \omega\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) \ t + \phi{\scriptstyle_{o}}$$ Porque $\phi\left(\textbf{x},t\right)$resulta de soluciones de la ecuación de onda, sus derivadas deben satisfacer la relación de dispersión a través de lo siguiente: $$- \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial t } = \mathcal{W}\left( \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} }, \mathbf{x}, t \right)$$ y podemos ver a partir de la ecuación para $\phi\left(\textbf{x},t\right)$que lo siguiente es cierto: $$\begin{align} \boldsymbol{\kappa} & = \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} } \\ \omega & = - \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial t } \end{align}$$ También sabemos que $\partial^{2} \phi$/ $\partial \mathbf{x} \partial t$ $=$ $\partial^{2} \phi$/ $\partial t \partial \mathbf{x}$, por lo tanto: $$\begin{align} \frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial t \partial \mathbf{x} } - \frac{ \partial^{2} \phi }{ \partial \mathbf{x} \partial t } & = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } - \frac{ - \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = 0 \\ & = \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \nabla \omega = 0 \end{align}$$ Se puede ver que esta forma final se parece a una ecuación de continuidad , siempre que $\boldsymbol{\kappa}$ $\leftrightharpoons$ densidad de las olas y $\omega$ $\leftrightharpoons$ flujo de las olas.

Velocidad de fase

De las relaciones anteriores, podemos ver que en los contornos de constante$\phi\left(\textbf{x},t\right)$, estamos sentados en crestas de ondas locales (es decir, frentes de fase ) donde$\boldsymbol{\kappa}$es ortogonal a estos contornos . Estos frentes de fase se mueven paralelos a$\boldsymbol{\kappa}$a una velocidad,$\mathbf{V}_{\phi}$, conocida como la velocidad de fase . La forma general de esta velocidad viene dada por:

$$\mathbf{V}_{\phi} \equiv \frac{ \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \kappa } \boldsymbol{\hat{\kappa}}$$

Velocidad de grupo

Podemos reorganizar nuestra ecuación de continuidad multiplicando por la unidad para obtener:

$$\begin{align} \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } & = 0 \\ \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \frac{ \partial \omega }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \mathbf{x} } & = 0 \\ \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial t } + \left( \mathbf{V}_{g} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{\kappa} & = 0 \end{align}$$ dónde $\mathbf{V}_{g}$se llama velocidad de grupo , donde observamos que: $$\frac{ \partial \omega }{ \partial \mathbf{x} } = \frac{ \partial \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \boldsymbol{\kappa} } \cdot \frac{ \partial \boldsymbol{\kappa} }{ \partial \mathbf{x} } + \frac{ \partial \mathcal{W}\left( \boldsymbol{\kappa}, \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} }$$ lo que demuestra que $\partial \mathcal{W}$/ $\partial \boldsymbol{\kappa}$ $=$ $\left( \partial \omega / \partial \boldsymbol{\kappa} \right){\scriptstyle_{\textbf{x}}}$ $\Rightarrow$ diferente$\boldsymbol{\kappa}$se propaga con velocidad$\mathbf{V}_{g}$. En otras palabras,$\mathbf{V}_{g}$es la velocidad de propagación de$\kappa$y$\mid$$\mathcal{A}$$\mid^{2}$se propaga con velocidad$\mathbf{V}_{g}$.

Así, un observador que se mueve con los frentes de fase (crestas) se mueve a$\mathbf{V}_{\phi}$, pero observan que el número de onda local y la frecuencia cambian con el tiempo$\Rightarrow$los frentes de fase vecinos (crestas) se alejan del observador en este marco. Por el contrario, para un observador que se mueve con$\mathbf{V}_{g}$, observan un número de onda y una frecuencia locales constantes (con respecto al tiempo), pero los frentes de fase (crestas) se mueven continuamente más allá del observador en este marco.

Referencias

Whitham, GB (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.