¿Por qué se dispersan algunos tipos de ondas?

Pero, ¿por qué algunas olas, por ejemplo las de aguas profundas, se dispersan?

La dispersión puede surgir de varias cosas. Sin embargo, la idea fundamental básica es que el medio responde a la onda de alguna manera (por ejemplo, la onda excita una resonancia en el medio).

Ejemplo: plasmas y ondas electromagnéticas
En el caso de un plasma , las ondas electromagnéticas pueden polarizar localmente el medio induciendo pequeños dipolos (o inducir corrientes, según el modo y el medio) que alteran la propagación de la onda (p. ej., reducen la velocidad de fase ). Si el medio no es dispersivo, esto equivale a decir que el tiempo de respuesta del medio a la onda es tan lento que es cero en comparación con la frecuencia de la onda (es decir, es como si las corrientes se indujeran instantáneamente). Sin embargo, si el medio tiene un tiempo de respuesta finito, la velocidad de fase de la onda dependerá de su frecuencia.

Dos tipos de dispersión
Hay dos formas de pensar acerca de la dispersión, espacial y temporal. A continuación, usaré la palabra corriente para describir en general los movimientos de las partículas, pero también puede representar corrientes eléctricas.

En la dispersión espacial (todavía dentro de un plasma), el campo electromagnético total en cualquier punto dado está determinado por las corrientes dentro de un volumen centrado en ese punto. Cuanto mayor sea el volumen necesario para determinar el campo, mayor será la dispersión espacial.

En la dispersión temporal (todavía dentro de un plasma), el campo electromagnético total en cualquier punto dado puede depender de las corrientes de tiempos anteriores. Cuanto más larga es la memoria de estas corrientes anteriores, más fuerte es la dispersión temporal.

Ambos son representaciones del concepto de no localidad, es decir, las propiedades de onda en cualquier posición espacial y temporal dada pueden no ser independientes de otras posiciones espaciales y temporales.

Estoy tratando de entender la física subyacente detrás de la razón por la cual la velocidad de una onda de agua depende del número de onda k.

En el caso de las ondas de agua , la no localidad que mencioné anteriormente es introducida por las órbitas de los elementos fluidos individuales (u órbitas de onda ) a medida que pasa una onda. La fuerza motriz es generalmente el viento que genera gradientes de presión no homogéneos sobre la superficie del agua. La fuerza restauradora es la gravedad (en longitudes de onda cortas, la tensión superficial comienza a importar y las ondas se denominan ondas capilares ). La relación de dispersión general para las ondas de gravedad es:

En aguas poco profundas (es decir, cuando la profundidad del agua es menor que la longitud de onda,$\lambda$), las órbitas de onda se comprimen en elipses y la longitud de onda ya no importa en la relación de dispersión . Entonces la velocidad de fase se reduce a (es decir,$\tanh{x} \rightarrow x$):

En el caso de las ondas de aguas profundas (básicamente ondas de gravedad ), las órbitas no se ven afectadas por el fondo del lago/mar/océano y la gravedad actúa como una fuerza restauradora durante las órbitas del elemento fluido (u órbitas de onda ). Entonces la velocidad de fase se reduce a (es decir,$\tanh{x} \rightarrow 1$):

La idea básica de por qué la velocidad de fase depende de la longitud de onda en una ola de aguas profundas es similar a la de un péndulo lineal , ya que la gravedad es la fuerza restauradora en ambos casos. Uno puede imaginar que la longitud del péndulo es análoga a la longitud de onda de la onda y tiene la ecuación para un oscilador armónico simple .

No estoy seguro de si incluye el análisis matemático en la "comprensión de la física subyacente", pero el punto es que la onda básica es la solución del vector propio del operador considerado en el sistema físico que estudia. Para las ondas superficiales en fluidos, la escritura incompresible + irrotacional + condición de contorno en la interfaz (es decir, la teoría de las ondas de Airy ) da como resultado una relación no lineal entre$w$y$k$, por lo que c=w/k no es constante.