¿Cómo es que la velocidad de grupo y de fase pueden ser diferentes en un medio no dispersivo?

En resumen, creo que la afirmación hecha en el ejemplo de Wikipedia debe ser incorrecta.

La velocidad de fase, por definición, es$v_p = \frac{\omega_p (k)}{k}$.

La velocidad de grupo, por definición, es$v_g = \frac{d \omega_p (k)}{dk}$.

En su libro Wave Propagation and Group Velocity (1960), Léon Brillouin define un medio dispersivo en el primer capítulo de la siguiente manera:

Un medio que exhibe una velocidad de onda W(k) se llama medio dispersivo

Él usa el símbolo$W(k)$para la velocidad de fase, por lo que está diciendo que la velocidad de fase que varía con la frecuencia es indicativa de un medio dispersivo. De lo contrario, el medio no es dispersivo.

Claramente, en un medio no dispersivo, la velocidad de fase$v_p$es constante, y eso obliga$v_g = \frac{d \omega_p (k)}{dk} = v_p$.

Estoy citando el libro de Brillouin como fuente autorizada, pero puedo ver muchos otros resultados de búsqueda en Google (por ejemplo, Quora, clase de física de Harvard, etc.) que usan la misma definición de un medio no dispersivo y, por lo tanto, concluyen$v_p = v_g$.

NB: No he leído el libro de Brillouin en detalle, pero me enteré del libro cuando tomé una clase de nanofotónica, y el instructor lo presentó como una referencia que aclara muchas confusiones con respecto a la definición de densidad de energía en medios dispersivos. Aparentemente, hubo una avalancha de artículos que afirmaban el transporte superlumínico en estructuras nanofotónicas hace muchos años, pero todos tenían que ver con nociones incorrectas de densidad de energía en medios dispersivos, mientras que Brillouin ya estableció lo que es en 1960.

En esencia, la respuesta se deriva más o menos aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity#Derivation

La velocidad de fase no contribuye en ninguna parte dentro de la integral, está fuera de la integral. Dentro de la integral solo está la prima omega (es decir, la velocidad del grupo).

La derivación anterior muestra que la velocidad de grupo ($\omega_0^\prime$) y velocidad de fase ($\omega_0$) están desacoplados, y ambos están atados a la envolvente y al portador respectivamente y el último es monocromático, por lo tanto, aunque tenemos un medio 'dispersivo' porque 'la velocidad de fase depende de la frecuencia', solo hay una frecuencia que se ve afectada por eso (la monocromática, frecuencia central)

De hecho, se puede demostrar que, si limitamos la expansión de Taylor de$\omega$a primer orden, llamada linealización, como se hace en la wiki, es imposible explicar una distorsión de paquete, porque tanto los términos de orden cero como los de primer orden son constantes y definen la velocidad de fase y de grupo respectivamente. Entonces, al linealizar, "forzamos" que la velocidad del grupo sea constante, lo que equivale a decir que el paquete viaja sin distorsiones. Uno tiene que empujar la expansión al menos al segundo orden para explicar matemáticamente la distorsión del paquete.

Además de eso, si uno realmente hace este gasto de segundo orden, resulta que el caso de un pulso gaussiano es particular: el término de segundo orden solo afecta la varianza del pulso, que se hará mayor a medida que pasa el tiempo. En consecuencia, cuanto mayor sea el término de segundo orden, mayor será la dispersión del pulso gaussiano. Pero si el término de segundo orden es cero, entonces el pulso gaussiano viajará libremente, aunque el orden cero (velocidad de fase) es una función de la frecuencia a través de la relación de dispersión, porque, de nuevo, solo una frecuencia es 'afectada'. por esta relación de dispersión.

En la imagen wiki, la fórmula de dispersión es$\omega = c\cdot k + \alpha$dónde$\alpha$es una constante (Nota: el autor de wiki proporciona enlaces a un cuaderno jupyter muy agradable que puede ayudar a reproducir la animación y ver cuál es la fórmula de dispersión ($\alpha=4$en su cuaderno))

La consecuencia de esto es que si lo derivas una vez (escritura a$k$), obtienes la velocidad del grupo$c$, pero si lo deriva por segunda vez, es cero, por lo tanto, el término de segundo orden es cero, y esta es otra razón (necesaria) de por qué el pulso gaussiano viaja sin distorsiones .

Puede intentar hacer que la relación de dispersión sea de segundo orden usando, por ejemplo

def dr(k):
    return pow(k, 2.) + 4

en el cuaderno jupyter y verá que la forma del pulso se distorsiona.

[a continuación se muestra una interpretación visual tentativa para tener una idea de por qué una relación de dispersión lineal con un término constante no afecta realmente a los paquetes de ondas]

Un punto importante a tener en cuenta es que con una relación de dispersión de primer orden como la que se usa aquí, la constante$\alpha$simplemente desplaza el espectro en el espacio de Fourier. Para ilustrar con una "interpretación visual", el hecho de que la suma de ondas monocromáticas "forma" un paquete agradable con una forma constante se deriva del hecho de que una onda de mayor frecuencia tiene un número de onda mayor$k$que uno con menor frecuencia, y que su relación es algún factor constante ($c$). Debido a que es constante, todas sus 'interferencias' permanecerán igual. Durante un intervalo de tiempo dado, todas las ondas (independientemente de su frecuencia) se 'moverse' por su número de onda proporcional a alguna velocidad ($c$aquí). Agregar una constante a la fórmula de dispersión no cambia eso: simplemente 'cambia el origen' pero durante un intervalo de tiempo dado, todas las ondas se moverán de la misma manera que sin la constante. Solo las relaciones no lineales distorsionarán la señal. De hecho, si hay una dependencia cuadrática ($k^2$) en la relación de dispersión, ahora, en un intervalo de tiempo dado, las ondas de mayor frecuencia se 'moverán' por su número de onda multiplicado por su número de onda multiplicado por alguna velocidad ($c$aquí), por lo que los subpaquetes de diferentes frecuencias se 'moverán' a diferente velocidad y, por lo tanto, distorsionarán el paquete.

En resumen, un pulso gaussiano modulado monocromáticamente con una relación de dispersión de solo primer orden es una especie de caso particular, en el que técnicamente tiene dispersión (fase) pero no distorsión (grupo).