Comprender la velocidad del grupo

Question

Comprender la velocidad del grupo

ondas
Física
velocidad
dispersión
velocidad de fase
mecanica clasica

cantante

La velocidad de grupo como concepto en Classical Waves me confunde. Es muy fácil señalar visualmente, como en este gráfico realmente útil aquí. Bien, es la velocidad de la protuberancia en movimiento, que, en particular, se mueve de manera opuesta a la velocidad de fase.

Veo cómo se ve con bastante claridad, pero hay cosas clave al respecto que todavía no entiendo.

¿Cuáles son las situaciones en las que el gráfico que se muestra puede describir una cosa física? ¿Qué tipo de ondas tienen esta propiedad y por qué es útil?
Matemáticamente, la velocidad de grupo se describe como
$v_{gramo} = \frac{d ω}{d k}$ $v_{g} = \frac{d \omega}{dk}$

O quizás más vagamente, la tasa de cambio de la frecuencia angular en función del número de onda. Sin embargo, no hay correlación en mi mente entre el gráfico y esta ecuación. ¿Cómo puedo relacionar mi intuición con las matemáticas?

usuario137289

Es la velocidad a la que se mueve una modulación. Una modulación puede verse como el latido de dos frecuencias con un pequeño intervalo. Un ejemplo de una situación física son las ondas de agua: commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif

garyp

El gráfico muestra una situación en la que la velocidad de grupo y la velocidad de fase tienen signos opuestos. Esto puede ocurrir en metamateriales que tienen un índice de refracción negativo.

Respuestas (6)

Comprender la velocidad del grupo

Es la velocidad a la que se mueve una modulación. Una modulación puede verse como el latido de dos frecuencias con un pequeño intervalo. Un ejemplo de una situación física son las ondas de agua: commons.wikimedia.org/wiki/File:Wave_group.gif
El gráfico muestra una situación en la que la velocidad de grupo y la velocidad de fase tienen signos opuestos. Esto puede ocurrir en metamateriales que tienen un índice de refracción negativo.

librecharly · Answer 1

Con una onda continua no puedes transmitir una señal. Para que se transmita una señal, se necesita una modulación de la onda, por ejemplo, modulación de amplitud. Por ejemplo, para transmitir frecuencias acústicas (habla), se modula la onda portadora electromagnética de alta frecuencia (del orden de MHz para transmisores de onda media) con las frecuencias acústicas (hasta 20 kHz). Esta modulación produce pequeñas variaciones llamadas bandas laterales (más y menos 20kHz) en las ondas transmitidas. La velocidad de grupo de una onda describe la velocidad con la que se propaga dicha modulación de la amplitud de la portadora, que transmite la señal. En el espacio libre, la velocidad de grupo de una onda EM es idéntica a la velocidad de fase $c$ porque la dispersión es lineal $\omega=c k$ . Así también una modulación en forma de pulso se propaga sin cambios. En las líneas de transmisión, puede haber una dispersión no lineal significativa, es decir, la velocidad de fase $v_{ph}= \frac {\omega}{k}$ para diferentes frecuencias no es constante y, en general, diferente de la velocidad del grupo $v_{gr}=\frac {\partial \omega}{\partial k}$ . Esto conduce a una pérdida de forma de una modulación similar a un pulso de la onda portadora. Sin embargo, la velocidad de propagación de tal modulación de pulso aún se puede obtener a partir de la velocidad del grupo.

Que la velocidad de grupo sea opuesta a la velocidad de fase ocurre solo en sistemas con relaciones especiales de dispersión no lineal.

Me pregunto si una analogía tangible es que no puedes enviar señales de humo, con una única corriente constante de humo - tienes que crear una alternancia entre el aire claro y el humo, para poder enviar la señal (incluso si el encendido del fuego en el en primer lugar, es la única alternancia que se produce - eso es suficiente para enviar una simple señal a cualquiera que pueda ver que el estado del sistema ha cambiado de aire limpio a aire ahumado).
Me temo que estoy teniendo problemas para entender esto. Primero, trataré de entender la primera oración. ¿Por qué una onda continua no puede servir como señal? Con la analogía de @Steve, ¿está diciendo que una corriente constante de humo no puede servir como señal porque no tiene variación de forma? ¿Necesita apagar y encender periódicamente la señal para producir un mensaje? ¿Algo así como el código morse?
@sangstar, sí. No puede enviar código morse, si todo lo que escucha es un silencio constante o un tono constante: es la alternancia entre ellos lo que envía una señal. Una alarma contra incendios no enviaría ninguna señal si sonara constantemente en todo momento (o no sonara en absoluto bajo ninguna circunstancia).
También fue el destino que le sucedió al niño que gritó lobo: sus gritos dejaron de indicar que un lobo estaba presente, porque lloraba tanto si el lobo estaba presente como si no.
@Steve contigo allí entonces. Ahora, con el sonido, por ejemplo, está claro que una onda continua podría escucharse pero no podría enviar ninguna señal por la misma lógica que acabamos de acordar. ¿Cómo entonces, esta modulación entonces, resolvería las cosas? Me temo que la respuesta no me ha ayudado a comprender de inmediato qué le hace esto a la onda continua para enviar una señal.
Hay dos tipos diferentes de modulación: modulación de amplitud y modulación de frecuencia. El código Morse utiliza modulación de amplitud: se activa y desactiva un tono constante. Estoy luchando por encontrar ejemplos cotidianos convincentes de modulación de frecuencia, pero, por ejemplo, se usa en los semáforos, donde hay un cambio de verde a rojo (la extinción total de la señal significa otra cosa, que la señal ha fallado). Cierto, con los semáforos, también hay una indicación de posición, pero la mayoría de las personas se enfocan mucho en el color de la luz, no en su posición dentro del marco de la señal.
Ah bien. No, eso tiene mucho sentido. En código morse, el tono es constante pero su volumen simplemente se apaga y se enciende. En los semáforos, la longitud de onda cambia para enviar una señal por diferencia de color. Entonces, lo que estoy interpretando entonces, a partir de la respuesta, para transmitir frecuencias acústicas, usa una modulación de frecuencia . Sin embargo, ¿cómo provoca esta modulación una velocidad de grupo? ¿Por qué esto crearía bandas laterales, por ejemplo?
@sangstar, puede usar cualquier tipo de modulación en principio: es como usted dice, el volumen y el tono son variables de forma independiente. Los "grupos" ocurren cuando estás introduciendo una onda de segundo orden, por ejemplo, si cambio lentamente el tono de mi voz hacia arriba y hacia abajo en un ciclo rítmico, tienes el ciclo de arriba y abajo superpuesto (con una frecuencia de una fracción de Hz) en una onda de sonido continua (que tiene una frecuencia de cientos de Hz). Los cientos de ciclos de ondas de sonido dentro de cada ciclo completo de mi subida y bajada son el "grupo", y las velocidades de cada uno pueden diferir.
@Sangstar - ¡Steve está describiendo bien la situación! En el caso de la modulación de amplitud, un buen ejemplo de esto es la radio am, las bandas laterales producidas pueden entenderse fácilmente por las relaciones trigonométricas que muestran que la modulación de la amplitud de una onda portadora con una determinada frecuencia de modulación puede verse como produciendo dos ondas, una desplazada hacia arriba por la frecuencia de modulación, la otra desplazada hacia abajo. Consulte el análisis simplificado de la modulación AM aquí: en.wikipedia.org/wiki/Amplitude_modulation

honeste_vivere · Answer 2

Lo siguiente se toma de la introducción a esta pregunta:
https://physics.stackexchange.com/a/381974/59023

Antecedentes
Definamos algunos parámetros relevantes:

Número de onda $\equiv$ $\mathbf{k} = \mathbf{k}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right)$ es efectivamente el número de crestas de olas por unidad de longitud, que es similar a la densidad de olas;
Frecuencia de onda $\equiv$ $\omega = \omega\left( \mathbf{k}, \mathbf{x}, t \right)$ es efectivamente el número de crestas de olas que cruzan la posición $\mathbf{x}$ por unidad de tiempo, que es similar a un flujo de ondas;
Fase de onda $\equiv$ $\phi = \phi\left( \mathbf{x}, t \right) = \mathbf{k}\left( \omega, \mathbf{x}, t \right) \cdot \mathbf{x} - \omega\left( \mathbf{k}, \mathbf{x}, t \right) \ t + \phi_{o}$ es la posición en un ciclo de onda entre una cresta y un valle;
Amplitud de onda $\equiv$ $A = A\left( \mathbf{k}, \omega, \mathbf{x}, t \right)$ es la mitad de la distancia entre la cresta y el valle para una onda lineal simétrica (aunque en la mayoría de los casos, $A$ es una constante).

De estas definiciones podemos ver que el número de onda y la frecuencia se definen como:

\begin{aligned} (0a) & k & = \frac{\partial ϕ (X, t)}{\partial X} \\ (0b) & ω & = \frac{\partial ϕ (X, t)}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{k} & = \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial \mathbf{x} } \tag{0a} \\ \omega & = \frac{ \partial \phi\left( \mathbf{x}, t \right) }{ \partial t } \tag{0b} \end{align}$

La velocidad de fase , $V_{ph} \hat{\mathbf{k}}$ , no es solo $\omega/k$ , es en realidad la parte real de esta relación, o $\Re\left[\omega/k\right]$ , ya que tanto la frecuencia como el número de onda pueden ser, en general, complejos. Tenga en cuenta que esta velocidad no es un verdadero vector de velocidad, ya que el vector en realidad se deriva de $\mathbf{k}$ .

De manera similar, la velocidad de grupo se define como:

\begin{matrix} (1) & V_{gramo} = \frac{\partial ℜ [ω]}{\partial k} \end{matrix}

$\mathbf{V}_{g} = \frac{ \partial \Re\left[ \omega \right] }{ \partial k } \tag{1}$

Como sugieren las definiciones anteriores, se puede escribir la frecuencia de onda y el número de onda en una forma de ecuación de continuidad dada por:

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial k}{\partial t} + (V_{gramo} \cdot \nabla) k = 0 \end{matrix}

$\frac{ \partial \mathbf{k} }{ \partial t } + \left( \mathbf{V}_{g} \cdot \nabla \right) \mathbf{k} = 0 \tag{2}$

Otra forma de expresar la velocidad de grupo es que ...diferentes k se propagan con velocidad $\mathbf{V}_{g}$ ... [página 376 de Whitham , 1999] o $\mathbf{V}_{g}$ es ...la velocidad de propagación para k... [página 380 de Whitham , 1999]. Siempre y cuando $\mathbf{V}_{g} \neq 0$ , entonces se puede demostrar que $\lvert A \rvert^{2}$ se propaga con velocidad $\mathbf{V}_{g}$ . Por lo tanto, en ausencia de transporte de masa y disipación, la energía de las olas se transporta a $\mathbf{V}_{g}$ [ Whitham , 1999].

respuestas

¿Cuáles son las situaciones en las que el gráfico que se muestra puede describir una cosa física? ¿Qué tipo de ondas tienen esta propiedad y por qué es útil?

Un ejemplo son las ondas de silbido electromagnético en el viento solar . Su velocidad de grupo puede exceder su velocidad de fase hasta en un factor de dos. Eso permite el escenario donde la velocidad de fase es menor que la velocidad del viento solar pero la velocidad del grupo es mayor. Por lo tanto, la onda puede transportar energía/impulso contra el flujo del viento solar, pero la fase de la onda en un marco de observación/estacionario se invertirá (p. ej., polarización inversa).

En cuanto a por qué es útil, no es realmente útil o no. Es una propiedad de un fenómeno. Si la onda tiene una velocidad de grupo lo suficientemente grande, puede alejar la energía/el impulso de una región fuente incluso contra el flujo en el que puede o no ser arrastrada.

¿Cómo puedo relacionar mi intuición con las matemáticas?

Vea mis descripciones de antecedentes arriba.

Referencias

Whitham, GB (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.

Las matemáticas suenan muy convincentes, me gustan. Pero, ¿cómo calcularías $\mathbf k$ ? Sospecho que probablemente tendría que ser una aproximación, pero comprender cómo calcularía eso realmente beneficiaría mi comprensión de esto.
@AccidentalTaylorExpansion - ¿En datos o en teoría? En datos, mide una cantidad relevante (por ejemplo, campo magnético) en muchas ubicaciones espaciales simultáneamente y luego hace algo como interferometría y otras técnicas de varianza mínima para obtener el vector unitario de onda y la velocidad de grupo. Si tiene datos lo suficientemente buenos, puede usar algo como el análisis de espectro cruzado para obtener la fase, que puede usar para obtener el vector de onda con magnitud.
Quise decir más en teoría. Si tienes alguna función de onda $\psi(x,t)$ ¿Cómo lo extraerías? $\mathbf k(x,t)$ ? estoy acostumbrado a $\mathbf k$ siendo un parámetro/variable como $\mathbf x$ .
@AccidentalTaylorExpansion: Ah, está bien, si el sistema es lineal, entonces es solo la transformada de Fourier y luego aplica el operador nabla espacial (es decir, gradiente, divergencia, curvatura, etc.). La razón por la que esto funciona es porque, como saben, en el límite lineal el exponente es solo la fase de la onda, por lo que el gradiente espacial solo actúa sobre el $\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}$ -término.

roger vadim · Answer 3

Consideremos por simplicidad un paquete de ondas que en $t=0$ tiene forma gaussiana:

F (X, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} {mi}^{- \frac{X^{2}}{2 σ^{2}}} = \int \frac{d k}{2 π} {mi}^{i k X} {mi}^{- \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} = \int \frac{d k}{2 π} {mi}^{i k X} F_{k}, F_{k} = {mi}^{- \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} .

$f(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ikx}e^{-\frac{k^2\sigma^2}{2}}=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ikx}f_k,\\ f_k=e^{-\frac{k^2\sigma^2}{2}}.$ Si el paquete se propaga en un medio homogéneo con relación de dispersión

ω (k)

$\omega(k)$ , su evolución temporal se puede escribir de forma sencilla:

F (X, t) = \int \frac{d k}{2 π} {mi}^{i (k X - ω_{k} t)} F_{k} = \int \frac{d k}{2 π} {mi}^{i (k X - ω_{k} t)} {mi}^{- \frac{k^{2} σ^{2}}{2}}

$f(x,t)=\int\frac{dk}{2\pi}e^{i(kx-\omega_kt)}f_k= \int\frac{dk}{2\pi}e^{i(kx-\omega_kt)}e^{-\frac{k^2\sigma^2}{2}}$ La última integral no puede evaluarse arbitrariamente.

k

$k$ , pero podemos hacer una aproximación

ω_{k} \approx \frac{d ω_{k}}{d k} |_{k = 0} \times k = v_{gramo} k,

$\omega_k\approx \frac{d\omega_k}{dk}|_{k=0}\times k=v_g k,$ en cuyo caso obtenemos fácilmente

F (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} {mi}^{- \frac{(X - v_{gramo} t)^{2}}{2 σ^{2}}} = F (X - v_{gramo} t, 0) .

$f(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-v_g t)^2}{2\sigma^2}}=f(x-v_g t,0).$ Esta es una onda que se propaga con velocidad.

v_{g}

$v_g$ sin cambiar su forma. En medios sin dispersión, por ejemplo, el descrito por una ecuación de onda

\frac{\partial F (X, t)}{\partial X^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial F (X, t)}{\partial t^{2}} = 0,

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial f(x,t)}{\partial t^2}=0,$ todas las soluciones se comportan así (

v_{p h} = v_{g} = c

$v_{ph}=v_g=c$ ), pero en general este no es el caso (por ejemplo, si la ecuación contiene derivadas adicionales con respecto a la posición o el tiempo, como, por ejemplo, la ecuación de Korteveg - de Vries ). La velocidad de grupo constituye así un intento de expandir nuestra intuición de los medios lineales sin dispersión a los medios dispersivos (pero aún lineales).

Observaciones:

Consideré anteriormente el caso simple posible, pero se pueden hacer generalizaciones a paquetes de ondas no gaussianas y paquetes de ondas centrados en el espacio k en puntos distintos de $k=0$ . En este sentido, la definición correcta de velocidad de grupo es $v_{gramo} (k_{0}) = \frac{\partial ω_{k}}{\partial k} |_{k = k_{0}},$ $v_g(k_0)=\frac{\partial \omega_k}{\partial k}|_{k=k_0},$ es decir, especificando el punto en el que se centra la derivada (ver, por ejemplo, la derivación de Wikipedia ).
La velocidad de grupo a menudo se define en términos de derivadas parciales (en lugar de totales) o un gradiente, ya que normalmente tratamos con medios que tienen más de una dimensión: $v_{gramo} (k_{0}) = \nabla_{k} ω_{k} |_{k = k_{0}},$ $\mathbf{v}_g(\mathbf{k}_0)=\nabla_\mathbf{k}\omega_\mathbf{k}|_{\mathbf{k}=\mathbf{k}_0},$

Mateusz Glinkowski · Answer 4

Cuando describimos fonones, usamos la relación de dispersión (velocidad angular vs vector de onda). Y la pendiente de este gráfico puede decirle qué tan rápido se mueven estos fonones (velocidad de grupo).

usuario8736288 · Answer 5

Mi explicación preferida es el llamado argumento de "estacionariedad de fase". Para un paquete de ondas, cada componente individual de Fourier con dado $k$ tiene una fase diferente en una posición dada $x$ : $\phi(k)=\omega(k) t - kx$ . La velocidad del grupo sigue la posición del máximo del paquete de ondas en función del tiempo. La intuición es que el máximo del paquete ocurre en una posición donde todos los componentes están más o menos en fase alrededor del componente. $k_{0}$ de amplitudes máximas (las amplitudes luego se suman constructivamente), es decir, cuando $\phi(k) \approx cte$ alrededor $k_{0}$ o $\frac{\partial \phi(k)}{\partial k}= 0$ . Esto da el resultado $x=\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}t$ .

jon du · Answer 6

Pensar en $v_{group}$ como el promedio del paquete de ondas. También hay velocidad de fase y puede verla en la búsqueda de wiki, se mueve de manera diferente por definición "La velocidad de fase de una onda es la velocidad a la que la onda se propaga en algún medio".

Pero de todos modos, puedes construir tu intuición basándote en las matemáticas. Es realmente un tema hermoso. Espero que seas el próximo John Nash.

Comprender la velocidad del grupo

cantante

usuario137289

garyp

Respuestas (6)

librecharly

Steve

cantante

Steve

Steve

cantante

Steve

cantante

Steve

librecharly

honeste_vivere

Referencias

AccidentalTaylorExpansion

honeste_vivere

AccidentalTaylorExpansion

honeste_vivere

roger vadim

Mateusz Glinkowski

usuario8736288

jon du

¿Qué significa la velocidad de una onda?

¿Cómo calcular la velocidad de fase y de grupo de una superposición de ondas sinusoidales con diferente velocidad y longitud de onda?

¿Son consistentes estas definiciones para la velocidad de onda transversal en una cuerda?

Velocidad de grupo con pulso gaussiano

¿Velocidad de grupo y velocidad de fase de la onda de materia?

Desviación de la velocidad del grupo

Velocidad de fase, velocidad de grupo y dispersión de velocidad de grupo (GVD)

¿Cómo es que la velocidad de grupo y de fase pueden ser diferentes en un medio no dispersivo?

¿Cómo se encuentra la función de velocidad de una onda mecánica?

¿Por qué se dispersan algunos tipos de ondas?