Obtener cero como solución a la ecuación de onda 1D

Question

Obtener cero como solución a la ecuación de onda 1D

ondas
Física
Transformada de Fourier
ecuaciones diferenciales
deberes-y-ejercicios

Ognyan Petkov

Estaba resolviendo un ejemplo de ecuación de onda 1D con BC e IC dados por separación de variables y series de Fourier.

\frac{\partial^{2} tu}{\partial t^{2}} = C^{2} \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}}

$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$

B C : tu (0, t) = tu (yo, t) = 0

$BC: u(0,t)=u(l,t)=0$

I C : tu (X, 0) = pecado (\frac{π}{yo} X)

$IC:u(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{l} x\right)$

\partial_{t} tu (X, 0) = 0

$\partial_tu(x,0)=0$ Separando las variables y resolviendo el problema de valores propios con el BC y resolviendo la EDO del tiempo obtengo la solución general para u(x,t).

tu (X, t) = \sum_{norte = 1}^{\infty} [A_{norte} porque (ω_{norte} t) pecado (\frac{norte π}{yo} X) + B_{norte} pecado (ω_{norte} t) pecado (\frac{norte π}{yo} X)]

$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left[A_n \cos(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)+B_n\sin(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]$ Tomando la derivada

\frac{\partial tu}{\partial t} = \sum_{norte = 1}^{\infty} [- ω_{norte} A_{norte} pecado (ω_{norte} t) pecado (\frac{norte π}{yo} X) + ω_{norte} B_{norte} porque (ω_{norte} t) pecado (\frac{norte π}{yo} X)]

$\frac{\partial u} {\partial t}=\sum_{n=1}^\infty\left[-\omega_nA_n \sin\left(\omega_nt\right)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)+\omega_nB_n\cos(\omega_nt)\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]$ y aplicando el IC obtuve

\partial_{t} tu (X, 0) = 0 = \sum_{norte = 1}^{\infty} ω_{norte} B_{norte} pecado (\frac{norte π}{yo} X) ⟶ B_{norte} = 0

$\partial_tu(x,0)=0=\sum_{n=1}^\infty\omega_nB_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \longrightarrow B_n=0$ ya que la integral es 0. Aplicando el otro IC:

tu (X, 0) = pecado (\frac{π}{yo} X) = \sum_{norte = 1}^{\infty} A_{norte} pecado (\frac{norte π}{yo} X)

$u(x,0)=\sin\left(\frac{\pi}{l} x\right)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)$ Al encontrar el coeficiente de Fourier (usé wolframalpha para resolver la integral) obtengo:

A_{norte} = \frac{2 pecado (norte π)}{π ({norte}^{2} - 1)}

$A_n=\frac{2\sin(n\pi)}{\pi(n^2-1)}$ Y desde

\sin (n π) = 0

$\sin(n\pi)=0$ por cada entero

n

$n$ mi solución se convierte

u (x, t) = 0

$u(x,t)=0$ ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿O qué significa físicamente la respuesta? ¿No hay modos?

david z

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AccidentalTaylorExpansion · Answer 1

Tu solución $A_n$ no es cero para cada $n$ . Mirando sus condiciones iniciales, puede esperar que haya solo un coeficiente distinto de cero ya que el IC ya tiene la forma de una onda sinusoidal. Cuando $n=1$ usted obtiene $\frac 0 0$ así que tienes que tener mucho cuidado. Evaluar su solución para $A_n$ como límite:

\underset{norte \to 1}{límite} \frac{2 pecado norte π}{π ({norte}^{2} - 1)} = - 1

$\lim_{n\rightarrow 1}\frac{2\sin n\pi}{\pi(n^2-1)}=-1$ Sospecho que hay un error en la integral porque la respuesta debería ser +1. Alternativamente, podría ver inmediatamente desde

pecado (\frac{π}{yo} X) = \sum_{norte = 1}^{\infty} A_{norte} pecado (\frac{norte π}{yo} X)

$\sin\left(\frac \pi l x\right)=\sum_{n=1}^\infty A_n \sin\left(\frac {n\pi} l x\right)$ eso

A_{n} = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}

$A_n=\cases{1&$n=1$\\0 &$n\neq 1$}$

¡Muchas gracias! :) Me perdí que mi IC se expande de la misma manera y solo puedo comparar.

roger vadim · Answer 2

Wolframalpha es probablemente la fuente de confusión aquí: la condición inicial es el término con $n=1$ , es decir $A_1 = 1$ , mientras que todos los demás son $A_n=0$ . La ecuación para la condición inicial es una ecuación con un número infinito de incógnitas en la derecha; no sorprende que una rutina automática dé una respuesta irrelevante allí.

¡Oh! No tengo que expandir el coeficiente ya que el IC ya está expandido en la base que estoy usando para la expansión. Así que no necesito resolver la integral en absoluto. Como todos los coeficientes son 0 excepto n=1, mi solución es $tu (X, t) = C o s (ω_{1} t) s i norte (\frac{π X}{yo})$ $u(x,t)=cos(\omega_1t)sin(\frac {\pi x}{l})$ . ¿Es esto correcto? Lo que significa que tengo un modo.

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Ognyan Petkov

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roger vadim

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