Velocidad de escape para la métrica de Schwarzschild

Question

Velocidad de escape para la métrica de Schwarzschild

JCW

No puedo llenar los vacíos en mi solución a esto y se agradecería ayuda o una referencia.

La pregunta comienza con la derivación directa de la EoM para una partícula masiva que orbita en el plano ecuatorial, como

{(\frac{d tu}{d ϕ})}^{2} = \frac{C^{2} k^{2}}{h^{2}} - α (\frac{C^{2}}{h^{2}} + {tu}^{2})

$\left( \frac{du}{d\phi}\right)^2 = \frac{c^2 k^2}{h^2} - \alpha \left( \frac{c^2}{h^2} + u^2 \right)$ dónde

u = \frac{1}{r}

$u = \frac{1}{r}$ ,

h, k

$h, k$ son constantes que surgen como

α \dot{t} = k

$\alpha \dot{t} = k$ y

\dot{ϕ} = h u^{2}

$\dot{\phi} = h u^2$ , y

α = 1 - \frac{r_{s}}{r}

$\alpha = 1-\frac{r_s}{r}$ dónde

r_{s}

$r_s$ es el radio de Schwarzschild.

Luego dice un experimentador estacionario en el radio $a > r_s$ proyecta una partícula masiva con velocidad $v$ normal a la dirección radial, y me pide que demuestre que en el caso $h^2 > 3 r_s^2 c^2$ la partícula será expulsada si $v$ supera una velocidad de escape similar en forma a la newtoniana.

Claramente, la condición anterior se restringe al caso de tres raíces reales, y creo que la condición que quiero es que la raíz más pequeña del cúbico anterior (hay un extra $u$ en el $\alpha$ ) es $\leqslant 0$ , aunque no estoy del todo seguro de por qué eso es necesario/suficiente. Dado eso, obtengo el resultado. $v \geqslant \sqrt{\frac{2GM}{a}}$ .

¿Es correcto este resultado? ¿Y alguien podría explicar por qué esa condición es la correcta?

Jinawee

El resultado está aquí: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .

Colin MacLaurin

Ese enlace asume un movimiento radial.

Respuestas (1)

Velocidad de escape para la métrica de Schwarzschild

El resultado está aquí: xphysics.wordpress.com/2011/02/20/… .

Juan Donne · Answer 1

Dejar $f(u)$ Sea el polinomio de tercer grado, tal que

\begin{matrix} (*) & {(\frac{d tu}{d ϕ})}^{2} = F (tu) \end{matrix}

$\left(\frac{du}{d\phi}\right)^2 = f(u)\tag{*}$ El experimentador comienza en

u = 1 / a

$u=1/a$ y debe llegar al infinito,

u = 0

$u=0$ . El punto crucial es que si

f (u)

$f(u)$ es negativo en algún lugar de la región

0 < u < 1 / a

$0<u<1/a$ , entonces la ecuación de movimiento

(*)

$(*)$ evita cruzar la región negativa, por lo que no puede llegar al infinito. En otras palabras si

u (θ)

$u(\theta)$ resuelve

(*)

$(*)$ entonces

f (u) > 0

$f(u)>0$ ; desde

u

$u$ es continuo, no se puede conectar

1 / a

$1/a$ a

0

$0$ si

f

$f$ es negativo en algún punto intermedio.

Ahora es una cuestión de cálculo ordinario determinar la forma de $f$ : aprendemos que tiene exactamente una raíz $u_\ast$ en el rango $u<r_s$ y eso $f<0$ para $u<u_\ast$ y $f>0$ para $u_\ast<u<1/r_s$ . Desde $f$ debe ser positivo para $0<u<1/a<1/r_s$ , Debemos tener $u_\ast<0$ .

Si esa es la ecuación correcta depende de lo que quiera decir, es decir, vea esta pregunta.

Velocidad de escape para la métrica de Schwarzschild

JCW

Jinawee

Colin MacLaurin

Respuestas (1)

Juan Donne

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