Maximizando el tiempo cerca de un agujero negro

Un observador puede pasar un tiempo infinito en$r=4GM$si cae desde el infinito con un momento angular preciso$\ell = \pm 4GM$. (Unidades$c=1$).

Considere lanzar un observador desde el infinito tal que 1) tenga una velocidad infinitesimal 2) tenga una cantidad finita$\ell$de momento angular. Afirmamos que podemos elegir$\ell$para que el observador caiga en una órbita circular.

De

$$V_{eff}(r) = - \frac{GM}{r} + \frac{\ell^2}{2r^2}- \frac{GM\ell^2}{r^3}$$

y la ecuacion de energia que mencionaste

$$\frac12 \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+ V_{eff}(r) = \mathcal{E}= \mbox{const}$$

vemos eso$\mathcal{E} = 0$porque, inicialmente, comenzamos en el infinito espacial con una velocidad radial infinitesimal.

Una órbita circular en el radio$r_c$tendrá

$$V'_{eff}(r_c)=0$$ $$\left.\frac{dr}{d\tau}\right|_{r_c} = 0$$ y la última ecuación junto con la ecuación de la energía nos dice $$V_{eff}(r_c) = 0.$$ El par de ecuaciones es $$\frac{3 G \ell^2 M}{r^4}+\frac{G M}{r^2}-\frac{\ell^2}{r^3}=0$$ $$-\frac{G \ell^2 M}{r^3}-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}=0$$

lo que equivale a resolver un par de cuadráticas. Puedes comprobar que las únicas soluciones son

$$\ell = \pm 4GM,\quad r=4GM.$$

No solo es posible,$r=4GM$es la única órbita posible con las condiciones iniciales que especificamos. Ahora tal vez pueda generalizar a una cantidad finita de velocidad radial inicial para ver si es posible una órbita más cercana.

Generalizando la respuesta por Dwagg: Para cualquier radio$3M<r\leq4M$(utilizando unidades con$G=c=1$), hay una órbita que viene desde el infinito y asíntotas a una órbita circular. Estas órbitas se conocen como órbitas homoclínicas. Estas órbitas tienen la misma energía y momento angular que la órbita circular (inestable) a la que tienen asíntota, que se puede encontrar resolviendo las ecuaciones

$$V'_{eff}(r)=0$$ y $$V_{eff}(r)=\mathcal{E}.$$

Esto da

$$\mathcal{E} = \frac{(r-2M)}{\sqrt{r(r-3M)}}$$ y $$\ell = \pm\frac{Mr}{\sqrt{M(r-3M)}}.$$

Estas órbitas pasan una cantidad infinita de tiempo debajo$r=4M$. Si, como especifica, desea una órbita que desciende por debajo$r=4M$y vuelve al infinito, entonces puedes tomar la energía como en la fórmula y un momento angular que es un poco más alto. A medida que deja que el momento angular se acerque al valor límite homoclínico, el tiempo pasado por debajo$r=4M$se acercará al infinito.