Diferenciación del funcional de acción

Question

Diferenciación del funcional de acción

Parir

En el libro QFT de Itzykson y Zuber, la variación del funcional de acción $I=\int_{t_1}^{t_2}dtL$ se escribe como:

d I = \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \frac{d I}{d q (t)} d q (t)

$\delta I=\int_{t_1}^{t_2}dt\frac{\delta I}{\delta q(t)}\delta q(t)$

¿Cómo se justifica esto? En particular, ¿por qué hay un signo de integración?

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Diferenciación del funcional de acción

Motl de Luboš · Answer 1

El inicio de sesión de integración $\delta I$ está allí porque el signo de integración estaba allí en el original $I$ para empezar. El término "variación" significa la adición de $\delta$ frente al objeto. Significa que estudiamos un diferencial infinitesimal del objeto; las reglas que obedecen a la variación son idénticas a las de otras derivadas incluyendo, por ejemplo, la regla de Leibniz para la variación de un producto.

La única forma posible de que desaparezca el signo integral sería si estuviéramos tomando la derivada de la función $I$ con respecto a $t_2$ o $t_1$ (el límite superior o inferior; el límite inferior elegiría un signo menos natural). Pero la variación no es una derivada con respecto a una variable particular como $t_2$ , el límite superior. Es el objeto el que conoce las derivadas de $I$ con respecto a todo lo que puede variar. Lo principal que queremos variar son los valores de $\delta q(t)$ por cualquier valor de $t$ , no solo un único límite superior $t_2$ .

¿Sería correcto decir que este es el equivalente continuo funcional de $df = \Sigma \frac{\delta f}{\delta x_i}\delta x_i$ ?
Querido Whelp, no del todo. El lado izquierdo de su última ecuación es "infinitesimal", ya sabe, su tamaño es 0,0000000001, por así decirlo, mientras que el lado derecho es finito, comparable a 1, por lo que claramente no son iguales. El símbolo $d$ o $\delta$ delante de una variable solo representa el "numerador". La ecuación válida es $\delta I = \sum_i (\delta I / \delta x_i) \delta x_i$ . En este caso, hay continuamente muchas variables $x$ , entonces $\sum_i$ debe convertirse $\int dt$ y $x_i$ se convierte $x(t)$ . Estoy confundido: te estoy explicando la misma ecuación con la que comenzaste. ¿Por qué estás tratando de dañarlo?
Ahora veo que arreglaste tu eqn en el subcomentario antes de la fecha límite. Entonces sí, es válido para un número finito o contable de muchas variables $x_i$ , pero en el caso con el que comenzó, el análisis funcional, hay continuamente infinitas variables $x_i(t)$ que dependen de un continuo $t$ y no solo discreto $i$ , entonces tiene que haber la integral sobre $t$ también. la integral $\int dt$ no tiene nada que ver con la variación en sí - es una generalización continua de la suma $\sum_i$ .
Sí, tuve algunos problemas con el código de Latex mientras escribía el comentario. Creo que ahora está claro en mi mente.

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